2. Истечение газа под высоким давлением

Давление условно называют высоким, если при реализации соответствующей ему потенциальной энергии в кинетическую энергию плотность и температура газа, уменьшаясь, претерпевают существенные изменения. В настоящее время расчет истечения газа под высоким давлением базируется на изоэнтропической модели процесса. Сущность этой моде­ли заключается в следующем. Предполагается, что газовый поток при движении внутри сопла, из которого происходит истечение, не отдает и не воспринимает тепло извне, т. е. является адиабатным. Далее предполагается, что трение потока о стенки сопла отсутствует, и скорость потока равномерно распределена по поперечному сечению сопла. Процессы, в ходе которых система не участвует в теплооб­мене с окружающей средой и сама не вырабатывает тепло, называют изоэнтропическими, т. е. протекающими при посто­янном значении энтропии, так что изменение ее S = 0.

На самом деле трение существует, и скорости распреде­ляются неравномерно по поперечному сечению газового потока. Поэтому процесс истечения носит адиабатно-неизоэнтропический характер. Тем не менее, изоэнтропическая мо­дель при коротких соплах оправдывает себя, давая отве­ты, не слишком резко расходящиеся с действительностью.

Характер развивающихся в сопле явлений тесно связан с величиной отношения скорости в данной точке потока и скорости звука или, как ее часто называют, критической скорости потока.

На рис. 9.2 показаны два сопла, с помощью которых организуется истечение газов под высоким давлением; пер­вое сопло называют простым коническим, второе  фигур­ным. Реализация избытка энергии сжатия в кинетическую энергию при помощи сопел происходит на коротком участ­ке пути и при наличии достаточно больших скоростей дви­жения газа совершается за очень короткое время. В этих условиях теплообмен между газом и окружающей средой через стенку канала незначительно сказывается на темпе­ратуре газа и процесс истечения получается очень близким к адиабатическому процессу.

Рис. 9.2. Схема конического (а) и фигурного (б) сопла

Если скорость движения газа меньше скорости звука то течение называютдозвуковым. Режим, при котором скорость частиц газа равна скорости звука в той же точке , называетсякритическим, а скорость при этом режиме - критической .Отношение скорости газа в данной точке потока к критической скорости называ­ют критерием скорости движения газа, т.е..

При наличии достаточно высокого начального давления газа скорость его истечения при выполнении определенных условий может быть больше скорости распространения зву­ка, т.е. и. Этот режим движения называютсверхзвуковым.

Рассмотрим наиболее общий случай - истечение газа через фигурное сопло, схема которого показана на рис. 9.2, б. Газовый поток при переходе от начального сечения I  I к минимальному сечению II  II плавно сужается, пос­ле чего на пути от минимального сечения II  II к сечению III  III он подвергается плавному расширению. Таким об­разом, в этом сопле можно выделить две части: сужение - конфузор и расширение - диффузор. Если профиль такого сопла позволяет получить сверхзвуковые скорости истече­ния газа, то оно называется соплом Лаваля.

Для выявления обстоятельств, изменяющих режим дви­жения газа в сопле, воспользуемся одномерными уравне­ниями движения и сплошности потока, движущегося без трения:

(9.9)

(9.10)

Логарифмируя уравнение сплошности, дифференцируя по­лученный результат по координате x и заменяя в уравне­нии Бернулли (9.9) получаем

(9.11)

Первое слагаемое, стоящее в круглых скобках, можно за­писать в следующем виде:

Знаменатель правой части этого выражения представ­ляет собой квадрат скорости распространения звука в дан­ном газе. Подставив вместо его значение по уравнения для скорости распространения звука, получаем

После подстановки этого выражения в (9.11) будем иметь:

В результате простых алгебраических преобразований этого уравнения находим

(9.12)

где

Согласно выражению для скорости распространения звука числитель формулы (9.12) равен квадрату скорости звука в газе. Вводя в расчет число Маха M_ = u/c, получаем:

(9.13)

Анализ этой формулы позволяет заключить, что значе­ния чисел Маха зависят от отношения производных и его знака. При дозвуковых скоростях производныеидолжны иметь одинаковые знаки, так как по уравнению (9.13) только при этом условии соблюдается неравенство Для осу­ществления сверхзвукового течениянеобходимо, чтобы производныеF '(x) и p '(x) имели разные знаки, т.е. положительному приращению функции F(x) должно от­вечать отрицательное приращение функции p(x). При отри­цательном знаке отношения знаменатель урав­нения (9.13) получается меньше единицы, что отвечает неравенству M_ > 1. Случай, когда знаменатель приобретает отрица­тельное значение, не имеет физического смысла. При кри­тическом режиме течения газа, когда скорость звука в га­зе равна скорости массового переноса газа, производная должна быть равна нулю, а производная дол­жна быть отличной от нуля. Рассмотрим течение в плавно сужающемся и плавно расширяющемся каналах.

При сужении потока на пути от сечения I  I к сечению II  II (см. рис. 9.2,б) производная имеет отрица­тельный знак, так как положительному приращению коор­динаты отвечает отрицательное приращение площади поперечного сечения сопла. В этих условиях режим течения в сужающемся сопле зависит только от знака производ­ной . Эта производная тоже имеет отрицательный знак, потому что имеющему место положительному приращению скорости отвечает отрицательное приращение давления. Таким образом, в сужающемся канале обе производные имеют отрицательные знаки, а отношение производных по­ложительно и , т.е. скорость движения газа во всех сечениях сужающегося канала, кроме сечения II  II, дол­жна быть дозвуковой. В сечении II  II производная , так как имеет место минимум площади попереч­ного сечения потока. Производная в общем случае может быть как равной нулю, так и отличной от нуля. Приотношение производных становится неопределен­ным, т.е.. Раскрывая эту неопределённость по правилу Лопиталя, получаем вместо уравнения (9.13)

(9.14)

Вторая производная ввиду явно выраженного минимума, имеет положительный знак. Скорость движения газа в сечении II  II будет дозвуковой, если давление p_к в этом месте будет иметь минимальное значение, что отве­чает положительному знаку второй производной .При положительных или отрицательных значениях в сечении II  II, а скорость движения газа в сече­нии будет равна скорости звука. Таким образом, в самом узком месте сопла возможны два режима движения газа  дозвуковое течение при и , и критическое течение прии.

В плавно расширяющемся канале между сечениями II  II и III  III производная имеет положительный знак. Приращение давления может быть и положительным, и отрицательным. При положительном значении ско­рость движения газа по выражению (9.13) должна быть дозвуковой. Этот случай отвечает работе дозвуко­вого диффузора с минимумом давления в сечении II  II: .При отрицательном значении производной скорость движения в расширяющемся канале, найденная по уравнению (9.13), может быть больше скорости распростра­нения звука, т.е.. Падение давления в сопле, необходи­мое для разгона звукового потока в сверхзвуковой, воз­можно лишь в том случае, когда в самом узком сеченииII  II имеется определенный избыток давления по сравне­нию с давлением в среде, куда истекает газ. В этом случае производнаяв сечении II  II не равна нулю, она должна иметь отрицательный знак. Но поскольку в се­чении II  II , то, т.е. в сечении II  II ско­рость движения газа равна скорости распространения зву­ка. Этот режим движения, как уже отмечалось, называется критическим. Критическому режиму отвечают критические значения давления , температурыи плот­ности. Для обеспечения сверхзвуковых скоростей в сопле Лаваля критическое давлениев II  II должно быть больше давления в среде, куда истекает газ, т.е.гдеp  давление в выходном сече­нии сопла Лаваля, для простоты принятое равным давле­нию в окружающей среде. Позднее будет показано, что ра­венство является частным случаем работы сопла Лаваля.

Все сказанное позволяет сделать следующие обобщения. Скорость движения газа в сужающемся сопле между сече­ниями I  I и II  II при любых значениях начального дав­ления остается дозвуковой. В сечении II  II скорость движения газа в зависимости от величины р₀ может быть дозвуковой и равной скорости звука. При достижении кри­тического режима ()и дальнейшем повышениир₀ скорость движения в II  II не изменяется и остается рав­ной своему критическому значению, но давление р_кр в этом месте при возрастании р₀ увеличивается, т. е. часть началь­ного давления, которая не смогла реализоваться в кинетическую энергию потока, расходуется на увеличение потен­циальной энергии газа (энергии сжатого газа) в сечении II  II и таким путем создаются предпосылки для получе­ния сверхзвуковых скоростей в расширяющемся сопле ме­жду сечениями II  II и III  III. При дозвуковых скоро­стях р_к в сечении II  II за счет действия диффузора полу­чается меньше р_окр в среде, куда истекает газ. При в зависимости от значения давления р_к и скорости u в сечении II  II расширяющееся сопло может работать как в дозвуковом, так и сверхзвуковом режимах. Для обе­спечения сверхзвукового режима необходимо, чтобы р_кр было значительно больше р_окр.

Мы рассмотрели наиболее общий пример истечения га­за, когда сопло состоит из сужающейся и расширяющейся частей. В частном случае истечение сжимаемого газа мо­жет быть организовано из простого сужающегося сопла без расширяющей поток приставки (рис. 9.2, а). Здесь скорость истечения и другие параметры газа изменяются по тем же закономерностям, которые присущи сечению II— II фигурного сопла (рис. 9.2,б). Разница заключается в том, что при дозвуковых скоростях давление газа на срезе соп­ла, ввиду отсутствия диффузора и, следовательно, отсут­ствия причин к его изменению, остается постоянным и рав­ным давлению в окружающей среде. При наступлении кри­тического режима давление на срезе сужающегося сопла становится критическим. Критическое давление может пре­вышать давление в среде, куда истекает газ , т. е. истечение газа может происходить с избытком давле­ния в истекающей струе.

Расчет параметров истекающего газа. Центральным элементом расчета является определение скорости истече­ния газа, так как все другие параметры газа могут быть выражены через эту скорость.

Для получения наиболее общих закономерностей, оди­наково справедливых для истечения газа из простых сужа­ющихся сопел и профилированных сопел Лаваля, не будем ограничиваться конкретным примером истечения.

Скорость истечения газа. Расчет скорости истечения га­за может быть произведен по уравнению энергии для ади­абатического процесса.

(9.15)

где p₁, ₁, u₁  соответственно давление, плотность и ско­рость движения газа в сосуде или канале, из которого про­исходит истечение; p, , u - те же самые параметры на сре­зе сопла.

Если принять u = 0, то

(9.16)

где p₀ и ₀  соответственно полное давление и плотность. Подставляя это уравнение в (9.15), найдем:

где T₀  абсолютная температура газа.

Поскольку по уравнению изоэнтропы , то последнее выражение приобретает вид:

(9.17)

По этой формуле можно рассчитать скорость истечения, ес­ли известны начальные параметры газа р₀ и Т₀.

Критические параметры газа. Критическая скорость ис­течения

Для расчета этой скорости необходимо знать температуру газа при критическом режиме Т_кр, которую можно опреде­лить путем совместного решения уравнения (9.17) и уравне­ния изоэнтропы:

При критическом режиме u = c = u_кр и р = р_кр. Подста­вив в уравнение (9.17) вместо его значение по уравнению изоэнтропы и разделив полученный результат на критическую скорость, найдем

При таком значении критической температуры

(9.18)

Величина критического давления определится, если в уравнение изоэнтропы подставить значение Т/Т_кр, тогда

(9.19)

Поскольку то плотность газа при критическом режиме

(9.20)

Анализ вышеприведенных формул позволяет заключить, что безразмерные параметры газа при критическом режи­ме зависят только от свойств газа, определяемых величи­ной показателя адиабаты k = c_p/c_v.

В табл. 9 приведены значения отношений при различных значенияхk.

Таблица 9. Безразмерные параметры газа при критическом режиме

Параметры		k=cp/cv
		1.05		1,10		1,15		1,20		1,25		1,30		1,35		1,40		1,45		1,50
Ткр/Т0	0,975 0,610 0,595		0,951 0.614 0,585		0,93 0,617 0,574		0,91 0,621 0,564		0.889 0,624 0,555		0,87 0,628 0,546		0,85 0,631 0,537		0,833 0,634 0,528		0?815 0,637 0,52		0,80 0,64 0,512
	6,4		4,58		3,79		3.32		3.00		2,77		2,59		2,45		2,33		2,24

Как видно из табл. 9.2, для прак­тической области значений показателя адиабаты k = 1,25  1,45 отношение p_кр/p₀ находится в пределах 0,555  0,52, а p₀/p_окр = 1,8  1,9. В первом приближении можно полагать, что для обеспечения критической скорости истечения необ­ходим двукратный запас начального давления по сравне­нию с давлением в пространстве, куда истекает газ.

Критические параметры газа могут быть также опреде­лены из уравнения для массового расхода среды в сечении сопла с площадью F и давлением p (рис. 9.2,б).

(9.21)

Это уравнение было получено в 1839 г. и носит название формулы Сен-Венана и Вентцеля.

Газодинамические функции. Критическая скорость дви­жения газа при заданном Т₀ является постоянной величи­ной по ходу потока. Поэтому критическую скорость более удобно применять как эталон сравнения скоростей, чем пе­ременную по ходу потока скорость звука. При введении в расчет критерия скорости  = u/u_кр все параметры газово­го потока можно выразить через этот критерий. Получаю­щиеся при этом функции называются газодинамическими. Значения этих функций вычислены в зависимости от вели­чины  и показателя адиабаты k и сведены в таблицы. Рас­чет параметров истечения при помощи таблиц газодинамических функций в настоящее время широко распространен и является общепринятым. Помимо сокращения вычисли­тельной работы, преимущест­вом такого расчета является: значительное упрощение пре­образований при совместном решении основных уравнений, что позволяет получать в об­щем виде решения весьма сложных задач. При этом более четко выявляются качествен­ные закономерности течения и связи между параметра­ми газового потока. Использование газодинамических функций дает возможность вести расчет течений сжимае­мого газа практически так же просто, как и в случае тече­ния несжимаемой газовой среды.

Разделив выражение (9.17) для скорости истечения га­за на u_кр из уравнения (9.18), найдем:

(9.22)

Из этого выражения видно, что критерий скорости дан­ного газа зависит только от р/р₀. Необходимо помнить, что при дозвуковых скоростях ( < 1) p равно давлению в сре­де, куда истекает газ, т.е. р = р_окр. При критическом ре­жиме ( = 1) давление определяется по уравнению (9.19). При сверхзвуковых скоростях ( > 1) р может быть мень­ше, больше или равно давлению в окружающей среде. В тех случаях, когда p₀ неограниченно велико по сравне­нию с p, критерий скорости согласно выражению (9.22) имеет максимальное значение:

Максимальные значения критерия  приведены в табл. 9.2. Например, для воздуха (k = 1,4), _max = 2,45. При темпе­ратуре воздуха T₀ = 273 K u_кр = 304 м/с. Максимальная скорость истечения воздуха при этой температуре равна u_max = 745 м/с. При повышении температуры T₀ критичес­кая и максимальная скорости движения увеличиваются. Например, при T₀ = 1473 K, u_кр = 692 м/с, u_max = 1700 м/с. Таким образом, при одном и том же начальном давлении газа путем его подогрева можно значительно увеличить скорость истечения.

Решая уравнение (9.22) относительно р/р₀ и обозначая это отношение через () получаем:

(9.23)

По этому выражению, если известен , можно рассчи­тать требующийся запас давления p₀. При изменении  в пределах 0    _max функция () меняется в диапазоне. В критическом сечении  = 1, () обращается в полученную ранее формулу (9.19). При уменьшении k = c_p/c_v функция () увеличивается. Уравнение адиабаты при k = 1 превращается в уравнение изотермы. По уравне­нию (9.23), при условии k  1, можно определить скорость истечения газа при изотермическом процессе:

Решая это выражение относительно , после простых пре­образований найдем, что приT = T₀ = const.

Заменяя отношение p/p₀ его значением по уравнению адиабаты , получаем газодинамическую функ­цию для расчета плотности истекающего газа по заданно­му 

(9.24)

При изменении  от 0 до _max функция () изменяется в пределах 1  ()  0. При  = 1 функция () = _кр, урав­нение (9.24) обращается в (9.20). Исследование выражения (9.23) показывает, что график этой функции имеет точку перегиба с координатами, зависящими от k:

(9.25)

Температура истекающего газа зависит от его скорости. Поэтому и этот параметр газового состояния можно пред­ставить в виде газодинамической функции. Заменяя p/p₀ на T/T₀, по уравнению изоэнтропы, найдем:

При изменении  от 0 до _max функция () убывает от 1 до 0. В критическом сечении при  = 1 эта зависимость обращается в уравнение, характеризующее отношение тем­ператур при критическом режиме. С уменьшением k и зна­чения функции () возрастают.

Функции (), (), () называются основными газо­динамическими функциями, так как они характеризуют изменение трех основных параметров газового состояния. Из числа других газодинамических функций наибольшее при­кладное значение имеют функция q(), характеризующая поток массы, функция скоростного напора j() и функция Z(), характеризующая количество движения потока.

Функция q() используется при расчетах сопла Лаваля. Ее значение равно отношению F_кр/F. Из уравнения мате­риального баланса следует, что

q() =

Заменяя _кр и  их значениями по уравнениям (9.20) и (9.24), получаем:

(9.26)

Исследование этого выражения показывает, что при  = 0 и  = _max q() = 0. Максимальное значение функция име­ет при  = 1. При практических расчетах выражение (9.26) более удобно использовать в виде:

(9.27)

На рис. 9.3 показан график за­висимости критерия скорости га­за от q() = = F_кр/F. Из результа­тов видно, что одному и тому же значению F_кр/F отвечает два зна­чения , одно из которых свойст­венно дозвуковому потоку, а дру­гое  сверхзвуковому.

Рис. 9.3. Зависимость критерия скорости  от значения функции q() = F_кр/F для k: 1 – 1,35; 2 – 1,3; 3 – 1,4

Найдем газодинамическую функцию скоростного напора и функцию импульса потока. Удво­енное значение динамического давления где u_кр = 2k(p₀/₀)/(k + 1).

После преобразований получаем:

или

(9.28)

Отсюда можно определить, какая доля от давления р₀ в процессе истечения преобразовалась в динамическое дав­ление газа; и поэтому эта величина является функцией скоростного напора. При  = 0 и  = _max функция j() = 0. Максимальное значение эта функция получает при  = = т.е.

Значения j() для некоторых газов приведены ниже.

k  F/F_кр j_max k  F/F_кр j_max

1,1 1,38 1,15 0,386 1,4 1,31 1,12 0,431

1,2 1,35 1,14 0,405 1,5 1,29 1,12 0,438

1,3 1,33 1,13 0,417 1,6 1,27 1,11 0,457

Отсюда видно, что при изменении k от 1,1 до 1,6 функ­ция j_max изменяется от 0,386 до 0,457.

В ряде случаев, и, в особенности, при проектировании горелок высокого давления, с целью повышения кинетиче­ской энергии факела устанавливаются сопла Лаваля. В этом смысле данные о максимальном значении скоростного на­пора имеют определенное практическое значение.

Полный импульс газового потока складывается из се­кундного количества движения Ми и силы давления рF в рассматриваемом поперечном сечении, т.е j = Mu + pF.

Отношение полного импульса потока в данном сечении F к полному импульсу в критическом сечении называют функцией импульса потока С помощью газодинамических функций (), () и q() это выражение преобразуется к следующему виду:

(9.29)

В заключение установим взаимную связь между числом Маха М_ и критерием скорости истечения газа . Скорость истечения, будучи выражена через эти критерии, записыва­ется как u² = kRT; u² = kRT_кр². Приравняв эти два вы­ражения, получим: (T_кр/T₀)² = (T/T₀). Заменив здесь Т_кр/Т₀ и Т/Т₀, найдем

(9.30)

(9.31)

При неограниченно большом значении числа Маха из формулы (9.31) получаем уже известное нам значение = (k + 1)/(k – 1).

Сопло Лаваля. В практике с целью упрощения изготов­ления сопла Лаваля делают конусообразными; образующая сопла является прямой линией. Чтобы избежать отрыва по­тока от стенок, центральный угол раскрытия сопла выбира­ют в пределах ~ 6  8^o.

Критерий скорости  для каждого данного сопла с кон­кретными размерами F и F_кр зависит от F/F_кр и р/р₀. Та­ким образом, значение критерия скорости  определяется не самими абсолютными значениями давления р и площади сечения со­пла F, а их относительными значениями р/р₀ и F_кр/F. Поэто­му, если при каком-то значении р₀ в сопле Лаваля сущест­вовало сверхзвуковое течение, то при увеличении р₀ скорость движения газа не изменяется, так как согласно, урав­нению для q() коэффициент скорости  зависит только от отношения F_кр/F. Из выражения (9.23) следует, что в этом случае произойдет повышение давления р на срезе сопла и газ может истекать с некоторым избытком давления.

Поэтому при сверхзвуковом истечении давление на сре­зе сопла в общем случае не равно давлению окружающей среды p p_окр и лишь в частном случае расчетного режи­ма, сущность которого была рассмотрена ранее, эти давле­ния одинаковы (p = p_окр).

Рис. 9.4. Схема сверхзвукового истечения с избытком давления

При p > p_окр наблюдается следующая картина движе­ния (рис. 9.3). На значительном удалении от сопла давле­ния в струе и в атмосфере должны уравняться. В связи с этим давление в струе по мере удаления от сопла посте­пенно уменьшается, скорость газа возрастает, а попереч­ное сечение сверхзвуковой струи в соответствии с выраже­нием (9.13) увеличивается. Опыт показывает, что при этом происходит перерасширение струи, т.е. в некотором наи­более широком сечении струи (F₁) устанавливается давле­ние ниже давления окружающей среды (p < p_окр). После этого струя начинает сужаться, а скорость уменьшается.

Торможение сверхзвукового газового потока приводит к увеличению давления, которое, как показывает опыт, рас­пространяется во все стороны в виде волн давления с боль­шой скоростью. Поскольку увеличение давления (сжатие газового потока) происходит достаточно быстро, что возни­кают так называемые сильные волны давления, скорость распространения которых значительно превышает скорость звука. Основной особенностью сильной волны давления является то, что фронт волны очень узок (соизмерим с дли­ной свободного пробега молекул), в связи с чем состояние газа (давление, плотность, температура) изменяются скач­ком. Таким образом, можно заключить, что волны сжатия (давления) распространяются как скачки давления (раз­рывы); по этой причине их называют ударными волнами. В том случае, если фронт ударной волны перпендикулярен направлению движения газового потока, и поток, проходя через него, не изменяет своего направления, имеет место так называемый прямой скачок уплотнения. Если фронт скачка располагается наклонно к направлению потока, и поток, проходя через него, изменяет направление своего движения, то имеет место косой скачок уплотнения.

В результате прохождения скачка сверхзвуковая ско­рость газа переходит в дозвуковую. Таким образом, в неко­тором сечении F₂ скорость становится дозвуковой, а давле­ние выше давления окружающей среды. Затем происходит вновь процесс уменьшения давления и возрастания скоро­сти, сопровождающийся сужением струи. При достаточно большом избытке давления скорость вновь достигает кри­тического, а затем и сверхзвукового значения, т. е. появля­ется второй сверхзвуковой участок, на котором струя рас­ширяется. В результате второго перерасширения и после­дующего увеличения давления возникает второй скачок уплотнения, который вследствие потерь энергии в первом скачке, естественно, получается слабее.

Таким образом, постепенно струя рассеивает свою энер­гию, превращаясь в результате в обычную дозвуковую струю. При небольшом избытке давления на срезе сопла также получаются колебания скорости и давления вдоль оси струи, но без скачков уплотнения.

Рис. 9.5. Схема истечения из плоскопараллельного сопла Лаваля при р < р_окр

Сверхзвуковое истечение из сопла Лаваля при p < p_окр осуществляется посредством сложной системы скачков (рис. 9.5). От краев сопла отходят косые скачки уплотне­ния, которые встречаются на оси струи в точке 0. Пересе­кая фронт косого скачка (а  0), элементарные струйки га­за переходят в область давления окружающей среды. Отклонение струек в результате скачка от первоначального направления должно было бы привести к их столкновению на оси струи. В действительности происходит второй пово­рот струек; они возвращаются к первоначальному направ­лению, однако это приводит к возникновению второй груп­пы скачков (0b). Правее линий 0b давление становится выше давления окружающей среды, поэтому за второй груп­пой скачков устанавливается такой же режим, как и при истечении с избытком давления (p > p_окр). Чем меньше давление на срезе сопла, тем больше должен быть угол поворота потока при прохождении скачков и меньше ско­рость потока, в частности, за первой группой скачков, по­этому, в конце концов, наступает такой режим, при котором нужный угол поворота потока не может быть осуществлен.

В центральной части струи при этом образуется удар­ная волна, фронт которой с увеличением разности p - p_окр увеличивается. При большом противодавлении сверхзвуко­вое истечение становится невозможным, и скачки давления перемещаются внутрь сопла Лаваля. Поскольку при про­хождении скачка скорость потока всегда становится дозву­ковой, то выходная часть за фронтом скачка работает как обыкновенный дозвуковой диффузор. С уменьшением дав­ления перед соплом скачок продвигается к критическому сечению, становится более слабым. В критическом сечении он исчезает, а сопло Лаваля при этом превращается в тру­бу Вентури. Положение плоскости скачка в сопле опреде­ляется отношением давления перед соплом к давлению сре­ды, в которую происходит истечение.

Режимы, при которых скачки уплотнения имеют место внутри сопла Лаваля, встречаются редко. Обычно газ успе­вает расшириться до выходного сечения сопла и скорость его на срезе превышает скорость звука.

Вышеприведенные формулы справедливы для идеально гладких сопел Лаваля, где энергия движения вследствие отсутствия трения не может перейти в теплоту. В реальных соплах Лаваля в результате трения некоторая часть энер­гии движения переходит в теплоту, поэтому скорость исте­чения газа из сопла получается несколько меньше, чем это следует из формул изоэнтропического истечения. Для ком­пенсации потерь энергии сопла Лаваля рекомендуется про­ектировать для работы с некоторым избытком давления р. С целью уменьшения потерь энергии на преодоления сил трения сопла Лаваля при изготовлении шлифуют.

При дозвуковом режиме сопло Лаваля работает как обычный диффузор. Давление р на выходе из диффузора не зависит от скорости истечения газа, оно остается постоянным и равным давлению в среде, куда истекает газ, т.е. p = p_окр. Здесь колебание давления p₀ сопровождается уменьшением или увеличением скорости истечения газа, что наглядно видно из уравнения (9.27), если в нём положить p = p_окр.

Область применения формул для несжимаемого газа и примеры расчетов истечения. Ранее отмечалось, что если газ истекает под действием малой разности давлений, то расчет истечения может быть произведен по уравнению Бернулли для несжимаемого газа, т.е.

где р₀  полное давление газа в сосуде, из которого про­исходит истечение, Па.

Правомерность такой формы записи уравнения Бернулли, предполагающей равенство между избытком давления (p - p_окр) и динамическим давлением  u²/2, может быть оценена с помощью формул изоэнтропического истечения. Обозначим отношение избытка давления (p - p_окр) к ди­намическому давлению через число Эйлера Eu. Воспользовавшись газо­динамической функцией скоростного напора по формуле (9.28), значение Еu можно представить в виде:

(9.32)

где j()  газодинамическая функция скоростного напора [см. (9.28)].

Согласно уравнению Бернулли для несжимаемого га­за, число Эйлера Еu = 1. Отклонение числа Еu от еди­ницы характеризует степень неправомерности записи урав­нения Бернулли в форме выражения (9.32) для изоэнтропического процесса. Значения числа Еu в зависимости от отношения p₀ /p_окр приведены в табл. 9.3. Данные этой таб­лицы рассчитаны с помощью таблиц газодинамических функций. При малых значениях отношения p₀ /p_окр (р₀/р_кр 1,1) числоЕu практически не зависит от показателя адиа­баты k, поэтому данные табл. 9.3 можно считать характер­ными для большинства газов, у которых k = 1,1-1,4.

Из результатов табл. 9.3 также видно, что при изменении от­ношения давлений p₀ /p_окр от 1,01 до 1,10 число Еu из­меняется от 1 до 1,04, т.е., строго говоря, равенства между избытком давления (p₀ -p_окр) и динамическим давление  u²/2 не существует. Но этот разбаланс между левой и правой частями уравнения (9.32) относительно невелик и в ряде случаев им вполне можно пренебречь.

Таблица 9.3. Значения критерия Еu при разных p_окр /p₀

pокр /p0	p0 /pокр		Еu		pокр /p0		p0 /pокр		Eu
0,99		1,01		1,00		0,94		1,06		1,025
0,98		1,02		1,01		0,93		1,075		1,030
0,97		1,03		1,013		0,92		1.09		1,033
0,96		1,04		1,015		0,81		1,10		1,04
0,95		1,05		1,02		0,90		1,11		1,05

Более корректная запись учитывает неравномерность рас­пределения скоростей в истекающем потоке, т. е.

(9.33)

_э  коэффициент, показывающий во сколько раз фак­тическая энергия движения потока больше энергии движе­ния, рассчитанной по средней расходной скорости u = V. Более подробно коэффициент _э рассматривался ранее. Для цилиндрического турбулентного потока при изменении числа Re от 110⁴ до 310⁶ коэффициент _э изменяет от 1,08 до 1,01. Для конфузоров, из которых обычно организуется дозвуковое истечение, _э = 1,04  1,01. В среднем, при приближенных расчетах истечения из кон­фузоров, можно полагать для цилиндрических сопел _э = 1,05. Если теперь приведенные в табл. 9.3 значения кри­терия Еu уменьшить в _э раз, то оказывается, что при p₀/р_окр 1,1, с точностью до 1 % расчет истечения можно про­изводить по уравнению Бернулли для несжимаемого газа. Отношению p₀ /p_окр 1,10 отвечает скорость истеченияu 0,4u_кр .

Таким образом, область применения формулы для не­сжимаемого газа примерно определяется следующими от­ношениями p₀ /p_окр 1,1; u_кр 0,4.

С точки зрения конкретных расчетов режим истечения газов можно подразделить на 4 группы:

1) истечение с малыми дозвуковыми скоростями при p₀ 1,1 p_окр и u 0,4u_кр. Это область, в которой газ для упрощения расчетов приближенно можно считать несжима­емым;

2) истечение с дозвуковыми скоростями при p₀ p_окр /_кр и 0,4u_кр u  u_кр – это область докритических ско­ростей, в которой газ нельзя рассматривать в качестве несжимаемого, хотя давление на срезе конфузора равно дав­лению в окружающей среде;

3) истечение газа с критическими скоростями при p₀ p_окр /_кр и u = u_кр. В этой области давление в выходном сечении конфузора больше давления в окружающей среде, т.е. p  p_окр.

4) истечение со сверхзвуковыми скоростями через соп­ло Лаваля. Здесь p₀ > p_окр /_кр и u > u_кр..

Ниже приводятся примеры расчетов истечения газа.

Пример 9.1. Природный газ истекает из сопла диаметром d₀ = 50 мм. Полное давление газа p₀ = 15010³ Па. Давление в окружающей среде p_окр = 99,210³ Па. Температура Т₀, показатель адиабаты k и газовая постоянная R равны: Т₀ = 293 К, k = 1,3; R = 475 Нм/(кгK). Истечение происходит через плавный конфузор. Определить скорость истечения газа и его расход.

Вычислим отношение давлений p₀/p_окр и минимальное давление, при котором возможно наступление критического режима.

p₀ /p_окр = 99,2/150 = 0,662; p₀ /p_окр = 1,51.

Поскольку p₀ >1,1 p_окр, то расчет необходимо производить с учетом сжимаемости газа. Критическое отношение давлений _кр в соответст­вии с данными табл. 9.2, при k = 1,3 равно _кр = 0,546. Минимальное давление p_0min, при котором возможно наступление критического режима, со­ставляет p_0min= p_окр /0,546=1,83 p_окр

Поскольку заданное p₀ = 1,51p_окр < p_0min =1,83 p_окр, то скорость истечения газа докритическая и, следовательно, давление, на срезе сопла p = p_окр. Критическая скорость истечения газа определяется согласно выражению (9.28) как

Критерий скорости истечения газа вычисляется из уравнения (9.23)

Согласно определению скорость истечения газа , т. е.u = 0,83396 = = 330 м/с. Температуру истекающего газа вычислим в соот­ветствии с выражением для Т/Т₀:

Т/Т ₀ = 1- 0,3/2,30,69 = 1- 0,09 = 0,91;

Т = 0,91293 = 267 K (t =  6^o C).

Плотность истекающего газа при р = р_окр= 99,2 10³ Па и Т = 267 К

В результате получаем расход массы газа через сопло:

М = 0,7823300,7850,05² = 0,508 кг/с

и объемный расход газа при нормальных условиях, когда

p = 10210³ Па и Т = 273 К:

Пример 9.2. Через сопло Лаваля истекает природный газ, имеющий следующие параметры: p₀ = 800 000 Па; T₀ = 293 K; R = 475 Нм/(кгК); k = 1,3; M = 4000 кг/ч = = 1,11 кг/с. Давление в окружающей среде р_окр= 99200 Па.

Требуется определить проходные сечения конического сопла Лаваля, его длину и параметры истекающего газа Т и , положив давление на срезе сопла p = 1,1 p_окр. Избыток давления в количестве 0,1 p_окp пред­назначается для покрытия возможных потерь давления в сопле Лаваля.

Параметры газа и сопла в критическом сечении определим по фор­муле (9.28  9.30) при k = 1,3:

Параметры газа в конце сопла Лаваля найдем по формулам при р = 1,199000 = = 10910³ Па:

 =1,68 ; u = u_кр= 1б,8396 = 665 м/c;

T = 293(1-0,3/2,32,83) = 185 K ;

Площадь выходного сечения сопла Лаваля рассчитывается по выраже­нию (9.27)

Длина сопла Лаваля при центральном угле раскрытия  = 8^о:

Истечение водяного пара. Водяной пар, как правило, истекает под высоким давлением. Расчет истечения ослож­няется переменностью показателя адиабаты k, который за­висит от состояния пара. Различают три состояния водя­ного пара: перегретый, сухой насыщенный и влажный на­сыщенный.

Состояние, при котором вода и пар находятся в равно­весии, называется насыщением. Пар, отвечающий этому со­стоянию, является насыщенным и имеет с водой одинако­вую температуру. Подвод теплоты к системе вода  пар, на­ходящейся в состоянии насыщения, не изменяет темпера­туру этой системы, так как подведенная теплота, прежде все­го, расходуется на испарение воды. Поэтому состояние на­сыщения характеризуется при каждом давлении вполне определенной и постоянной температурой. Насыщенный пар может быть сухим и влажным. Сухой насыщенный пар, в противоположность влажному пару, не содержит капелек воды и поэтому при подводе теплоты он нагревается. Сухому на­сыщенному пару отвечают определенные и взаимосвязан­ные температуры и давления. Если давление сухого насы­щенного пара не изменяется, а его температура вследствие подвода теплоты увеличивается, то пар из сухого насыщенно­го становится перегретым.

Показатель адиабаты перегретого пара при умеренных давлениях k = 1,3. При изоэнтропическом расширении тем­пература и давление пара снижается, и пар из состояния перегретого может превратиться в сухой и даже влажный насыщенный пар. Поэтому при истечении, которое сопро­вождается понижением температуры, свойства пара прибли­жаются к свойствам идеального газа, для которого показа­тель адиабаты k = 1. Таким образом, в ходе истечения пара показатель адиабаты оказывается переменной величиной. Это обстоятельство вызывает затруднения в определении критических параметров истекающего пара. Показатель адиабаты влажного насыщенного пара ориентировочно оп­ределяется по формуле Цейнера:

k = 1,035 + 0,1x, (9.34)

где x - степень сухости насыщенного пара, определяемая по диаграмме i - s. Для сухого насыщенного пара x = 1 и k = 1,135.

Если в основу расчета положить формулу Цейнера для показателя адиабаты пара, переходящего из перегретого состояния во влажный пар, то это будет заниженное зна­чение, которое приведет к завышенным значениям скоро­сти истечения.

Ввиду описанных трудностей, расчет истечения пара приходится производить методом последовательных приб­лижений. Скорость истечения пара при пользовании диа­граммы i - s рекомендуется определять по уравнению энергии, записываемому в форме энтальпий, из которого следует, что

где i₀ и i_к - соответственно энтальпии пара в начальном и конечном состояниях при изоэнтропическом процессе, кДж/кг;  = 44,7.

Удельный объем влажного насыщенного пара вычисля­ется по формуле:

(9.35)

где два штриха относятся к сухому насыщенному пару, а один — к воде.