- •Глава 7. Течение жидкостей и газа в пограничном слое
- •1. Общие свойства двухмерного пограничного слоя
- •2. Уравнения движения в пограничном слое. Характерные толщины пограничного слоя.
- •3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения
- •4. Отрыв пограничного слоя
- •5. Приближенные методы анализа установившихся пограничных слоев
- •Глава 8 потери энергии при движении жидкости и газа
- •1. Потери энергии на трение
- •2. Потери энергии на местные сопротивления
- •3. Сопротивления, обусловленные действием геометрического давления
- •4. Расчет гидравлического сопротивления трубопроводов
- •Глава 9. Истечение газов из отверстий и сопел
- •1. Истечение несжимаемого газа
- •2. Истечение газа под высоким давлением
- •Глава 10. Турбулентные газовые струи
- •1. Основные свойства турбулентных струй
- •2. Динамика затопленной струи
- •3. Развитие турбулентной струи в спутном или встречном потоках
- •4. Соударение двух струй в неограниченном пространстве
- •5. Полуограниченные турбулентные струйные течения
- •6. Ограниченные турбулентные струйные течения
- •Глава 11. Струйный инжектор
- •1. Сущность инжекции
- •2. Уравнение инжекции
- •Обозначим
- •3. Условия работоспособности инжектора и его оптимальные размеры
- •4. Конструктивные параметры инжектора и составление его характеристики
- •Решая это квадратное уравнение, находим
- •Глава 12. Особенности движения газа в печах и устройства, приводящие его в движение
- •1. Распределение потоков газа в боровах и каналах в условиях неизотермического течения
- •Интегрируя это уравнение по длине канала, получим
- •Потери на трение изменяются по длине канала, поэтому
- •2. Устройство, работа вентиляторов
- •3. Дымовые трубы. Работа и расчет
- •4. Особенности расчета движения жидкости и газа в слоевых металлургических печах и установках
- •Глава 13. Двухфазные течения в трубах и каналах
- •1. Характеристики двухфазных потоков
- •2. Модель гомогенного течения
- •3. Модель раздельного течения
- •4. Модель потока дрейфа
- •5. Системы жидкость – газ
5. Приближенные методы анализа установившихся пограничных слоев
Точные решения уравнений пограничного слоя, рассмотренные ранее, позволяют выявить большую часть элементов структуры пристенной области потока. Во многих случаях такой подробной информации не требуется, а нужно лишь оценить значение той или иной характеристики течения.
Отрыв пограничного слоя вызывает существенное увеличение сопротивления, называемого профильным, в основном вследствие завихренности или турбулентного следа за телом, а также вследствие изменения распределения давления по поверхности тела. Несмотря на то, что профильное сопротивление по величине намного больше вязкого, его очень трудно рассчитать. В этих условиях точное решение уравнений пограничного слоя имеет второстепенное значение. Гораздо важнее суметь точно определить точку отрыва пограничного слоя, чтобы задержать или даже полностью предотвратить отрыв путем оптимизации профиля тела или канала. Для конструкторских разработок требуются более быстрые методы расчета, чем методы, рассмотренные ранее, несмотря на то, что это быстродействие достигалось ценой понижения точности расчета.
Для получения приближенных методов расчета характеристик пограничного слоя необходимо отказаться от требования, чтобы дифференциальные уравнения пограничного слоя удовлетворялись бы для каждой "частицы" жидкости. Достаточно ограничиться, во-первых, выполнением граничных условий и контурных связей на стенке и при переходе к внешнему течению и, во-вторых, выполнением только суммарного соотношения, получаемого из дифференциальных уравнений пограничного слоя как некоторое среднее по толщине слоя.
Выведем это соотношение сначала для простейшего случая установившегося течения вдоль плоской поверхности, когда p/ x = 0 (U = const). Для этого проинтегрируем уравнение (7.8) по толщине пограничного слоя
. (7.66)
Рассмотрим правую часть этого выражения. Поскольку , то
.
Но на внешней границе пограничного слоя u/ y = 0 . С другой стороны известно, что касательное напряжение на стенке равно 0 = ( u/ y)y = 0. Тогда
(7.67)
Запишем теперь второе слагаемое левой части уравнения (7.66) в виде
(7.68)
Здесь использовано соотношение
.
Первое слагаемое в правой части уравнения (7.68) легко интегрируется, т.е.
(7.69)
так как на внешней границе пограничного слоя ,v = vh , а на стенке u = = v = 0.
Для определения величины vh, а также для преобразования второго слагаемого правой части выражения (7.68) воспользуемся уравнением неразрывности , тогда
(7.70)
. (7.71)
Таким образом, приходим к интегральному уравнению импульсов, содержащему касательное напряжение на стенке 0:
. (7.72)
При установившемся движении, как уже отмечалось ранее, при отсутствии продольного перепада давления , скорость внешнего теченияи, следовательно, может быть внесена не только под знак интеграла, но и под знак производной, т.е. уравнение (7.72) может
быть записано в виде
или
. (7.73)
Учитывая выражение (7.23), окончательно получим, что
, (7.74)
где - толщина потери импульса.
Этому уравнению можно придать другой вид. Если учесть, что коэффициент местного сопротивления трения связан с касательным напряжением на стенке и скоростью внешнего течениясоотношением
,
то получим .
Для неустановившегося движения и течение вне пограничного слоя, где влияние вязкости пренебрежимо мало, описывается уравнением Эйлера (7.12), а уравнение пограничного слоя имеет вид (7.13). Интегрируя последнее уравнение по толщине пограничного слоя, находим
. (7.75)
Поскольку ине зависят от, то с учетом уравнений (7.67 - 7.71) можно записать
. (7.76)
Запишем третье слагаемое левой части этого выражения в виде
так как иU1, U1/ x не зависят от y.
Следовательно, имеем
или с учетом выражений (7.21) и (7.23)
(7.77)
Интегральное уравнение импульсов впервые было выведено Т. Карманом. Уравнения (7.73), (7.74) и их обобщение—выражение (7.77) - часто называются интегральными уравнениями (теоремами) импульсов Кармана.
Заметим, что при выполнении оценки порядка величин, сделанной при выводе уравнений Прандтля (7.8), а следовательно, и интегрального уравнения импульсов (7.77), вклад турбулентных флуктуации не учитывался. Тем не менее, интегральное уравнение импульсов (7.77) используется как при ламинарном движении, так и при турбулентном. Это допустимо до тех пор, пока поток количества движения, обусловленный турбулентностью, мал по сравнению с потоком количества движения, обусловленным скоростями осредненного течения. При несоблюдении данного условия следует пользоваться более точным выражением, полученным из уравнений турбулентного пограничного слоя
.
Полагают, что последнее слагаемое левой части этого уравнения может быть существенным вблизи точки отрыва.
Необходимо отметить, что интегральные уравнения пограничного слоя (интегральные уравнения импульсов) сами по себе являются точными, хотя бы в рамках теории пограничного слоя. Приближенный характер решений этих уравнений обусловлен способом их применения.
Рассмотрим общий случай установившегося движения в пограничном слое. Перепишем уравнение (7.77) следующим образом
, (7.78)
или
. (7.79)
Если выбрать для распределения скоростей необходимое выражение и с его помощью вычислить толщину вытеснения, толщину потери импульсов и касательное напряжение на стенке, то получим из уравнения (7.78) обыкновенное дифференциальное уравнение для определения толщины пограничного слоя. С целью выбора необходимого выражения для профиля скорости введем вместо размерного расстояния от стенки безразмерное расстояние1 = y/(x). Предположим также, что относительная скорость является функцией1. Далее, с учетом граничных условий для распределения скоростей u функция f(1) = u/U1 должна исчезать на стенке и должна быть равна 1 для больших значений 1. Хотя все точные решения уравнений пограничного слоя показывают, что переход пограничного слоя в потенциальное течение происходит асимптотически (при 1 ), тем не менее, для приближенного решения целесообразно произвести смыкание пограничного слоя с потенциальным течением на конечном расстоянии от стенки, следовательно, ввести в расчет конечную толщину пограничного слоя (x).
В общем случае, когда вдоль обтекаемой стенки имеется градиент давления, следует предусмотреть, что профили скоростей могут быть как без точки перегиба (прямой перепад давления), так и с точкой перегиба (обратный перепад). Далее, для того, чтобы приближенный расчет мог дать также положение точки отрыва необходимо предусмотреть выполнение условия , т.е. возможность существования профиля скорости, имеющего на стенке касательную, совпадающую с нормалью к стенке.
Преимущество интегрального метода состоит в том, что окончательное решение слабо зависит от формы профиля скорости. Обычно профиль выбирают так, чтобы можно было удовлетворить как можно большему числу граничных условий.
Пусть течение в пограничном слое стационарно и, следовательно, . Тогда, учитывая равенство, из уравнения (7.79) получим уравнение (7.74) в виде
. (7.80)
Выберем профиль скорости в виде кубической параболы
. (7.81)
Согласно условию прилипания при , отсюда. Далее, из выражения (7.63) следует, что при. Тогда, т.е.и вместо уравнения (7.81) можно записать:
. (7.82)
Для отыскания двух коэффициентов имеем два условия: . Используя их, получаем:и. Следовательно
. (7.83)
Подставив в выражение (7.78) в (7.23), находим
.
Таким образом, вместо уравнения (263) имеем
или .
Интегрируя это уравнение при граничном условии приx = 0, получаем или
. (7.84)
Сопоставив это уравнение и уравнение для толщины пограничного слоя, находим, что интегральный метод дает ошибку в определении , равную 7,2%.
Располагая значением , вычисляем , т.е. , что всего лишь на 2,7% отличается от решения Блазиуса.
В табл. 7.2 приведены результаты решения уравнения (7.80) для различных приближений профилей скоростей — от линейного до синусоидального. Линейная функция удовлетворяет лишь условиям f (0) = 0 и f (1) = 1; кубическая функция — дополнительно двум условиям f’’(1) = 0 и f”’(0) = 0; функция четвертой степени – условию f’’’(1) = 0. Функция sin(1/2) удовлетворяет тем же граничным условиям, что и полином четвертой степени, за исключением условия f’’’(1)=0. Можно видеть, что полиномы третьей и четвертой степени, а также функция sin(1/2) дают для касательного напряжения на стенке значения, отличающиеся от результатов точного решения не более чем на 3%,. что следует рассматривать как вполне хороший результат. Значения толщины вытеснения , даваемые указанными приближениями, также удовлетворительно совпадают с точными значениями.
Таблица 7.2. Результаты приближённого расчёта пограничного слоя плоской пластины, обтекаемой в продольном направлении
u/U1 = f(1) |
(Rex)1/2/ x |
(Rex)1/2/ x |
(Rex)1/2 /x или cf(Rex)1/2 |
Cf(Rel)1/2 |
H = / |
1 |
3,464 |
1,732 |
0,577 |
1,155 |
3,00 |
(31 - 13)/2 |
4,641 |
1,740 |
0,646 |
1,293 |
2,69 |
21 - 213 + 14 |
5,836 |
1,751 |
0,685 |
1,371 |
2,56 |
sin(1/2) |
4,795 |
1,743 |
0,655 |
1,310 |
2,66 |
Точное решение |
5,000 |
1,721 |
0,664 |
1,328 |
2,59 |
Переходя к анализу турбулентного пограничного слоя, отметим, что наиболее простое решение задачи можно получить, если использовать степенную форму универсального профиля скорости, а не логарифмическую, более приемлемую в других отношениях. Уже отмечалось, что степенной профиль с показателем 1/7 вполне удовлетворительно аппроксимирует опытные данные в диапазоне примерно от 30 до 500 при . Если необходимы данные для больших значений , то используют другие степени. Закон одной седьмой степени имеет вид:
или .
Полагая, что при y = , и решая последнее уравнение относительно 0 (), получаем
0 = 0,0228 U12(U1/)1/4. (7.85)
Подставляя степенной закон в уравнения (7.21), (7.23), после интегрирования находим / = 0,125, = 0,097, откуда H = = 1,29, и касательное напряжение в уравнении (7.85) можно выразить через толщину потери импульса:
. (7.86)
Тогда вместо уравнения (7.74) запишем 1/4 d/d x = 0,0128 (/U1)1/4.
Если турбулентный слой развивается от передней кромки пластины, то граничное условие имеет вид: = 0 при . Следовательно, (4/5) 5/4 = = 0,0128 (/U1)1/4x или
(7.87)
Вычисление других характеристик пограничного слоя с использованием вышеприведенных данных не вызывает затруднений.
Произвольное изменение скорости внешнего течения
Вернемся к общему случаю решения уравнения (7.79). Умножив его на (U1) и записав вместо 0 его значение ( u/ y)y = 0 , придадим выражению (7.79) безразмерную форму, т. е.
. (7.88)
Для упрощения алгебраических выкладок введем еще один параметр пограничного слоя — динамическую толщину д = U1/( u/ y)y = 0. Кроме того, обозначим T = /д. Тогда уравнение (7.88) принимает вид:
(7.89)
где = (2/)(dU1/d x).
Анализ точных решений уравнений пограничного слоя показал, что функция F() хорошо аппроксимируется линейной зависимостью F() = a b, причем по данным Твейтса, а = 0,45 и b = 6. После подстановки этого соотношения в (7.89), перегруппировки слагаемых и объединения производных получим уравнение , интегрируя которое поx и учитывая при этом, что одна из величин ( и ) при x = 0 должна быть равна нулю, находим
Приняв указанные Твейтсом значения а и b, окончательно получим
(7.90)
Интересно, что при U1 = const из этого выражения вытекает: = 0,67 x/Rex1/2, что лишь на 0,9 % превышает точное значение.
Определив по уравнению (7.90) толщину потери импульса, можно вычислить местный параметр и затем с помощью табл. 7.3, составленной на основании точных решений уравнений пограничного слоя, вычислить динамическую толщину, местное касательное напряжение и локальный коэффициент трения.
Таблица 7.3. Функции, используемые с уравнением (7.90)
|
|
H = / |
0,082 |
0 |
3,70 отрыв пограничного слоя |
0,080 |
0,039 |
3,58 |
0,070 |
0,089 |
3,17 |
0,060 |
0,113 |
2,99 |
0,040 |
0,153 |
2,81 |
0,024 |
0,182 |
2,71 |
0 |
0,220 |
2,60 плоская пластина |
0,016 |
0,244 |
2,55 |
0,048 |
0,291 |
2,44 |
0,080 |
0,333 |
2,34 критическая точка (приближённо) |
0,120 |
0,382 |
2,23 |
0,250 |
0,500 |
2,00 |
В литературе можно найти более точные методы расчета ламинарного пограничного слоя, которые следует использовать лишь при необходимости особо точных решений. Для инженерного анализа достаточно точности уравнения (7.90).
Если использовать степенной профиль скорости, то можно получить решение уравнения движения турбулентного пограничного слоя при произвольном изменении скорости внешнего течения. В этом случае формпараметр определяется по выражению H = 1 + 2/n. При п = 7 он сохраняет постоянное значение 1,29 и остается в силе уравнение (7.86). Такой метод расчета можно использовать лишь для течений с отрицательными градиентами давления — прямой перепад при движении жидкости (газа) с ускорением, например, при истечении через сопла. При положительных градиентах давления (обратный перепад) он практически бесполезен. Для течений с положительными градиентам» давления разработаны более точные методы, но они связаны с громоздкими вычислениями и здесь не рассматриваются.
Подставив в уравнение (7.79) Н = 1,29 и 0 из выражения (7.86), получим
Это уравнение можно преобразовать к виду
Интегрируя это уравнение при граничном условии, согласно которому при х = 0 одна из величин ( или U1) равна нулю, и решая его относительно , получаем
(7.91)
Определив зависимость от x по соотношениям (7.52), можно найти , и .
В настоящее время по теории пограничного слоя имеется весьма обширная научная и учебная литература. Рассмотренные в данной главе результаты служат введением в более строгую и точную теорию и дают возможность самодеятельного изучения публикаций. Они важны как в отношении разработки методов расчета сопротивления потока (коэффициентов трения), так и (что не менее важно) процессов переноса теплоты и массы с точки зрения описания гидродинамической обстановки и последующего решения задач тепломассообмена.