- •Глава 7. Течение жидкостей и газа в пограничном слое
- •1. Общие свойства двухмерного пограничного слоя
- •2. Уравнения движения в пограничном слое. Характерные толщины пограничного слоя.
- •3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения
- •4. Отрыв пограничного слоя
- •5. Приближенные методы анализа установившихся пограничных слоев
- •Глава 8 потери энергии при движении жидкости и газа
- •1. Потери энергии на трение
- •2. Потери энергии на местные сопротивления
- •3. Сопротивления, обусловленные действием геометрического давления
- •4. Расчет гидравлического сопротивления трубопроводов
- •Глава 9. Истечение газов из отверстий и сопел
- •1. Истечение несжимаемого газа
- •2. Истечение газа под высоким давлением
- •Глава 10. Турбулентные газовые струи
- •1. Основные свойства турбулентных струй
- •2. Динамика затопленной струи
- •3. Развитие турбулентной струи в спутном или встречном потоках
- •4. Соударение двух струй в неограниченном пространстве
- •5. Полуограниченные турбулентные струйные течения
- •6. Ограниченные турбулентные струйные течения
- •Глава 11. Струйный инжектор
- •1. Сущность инжекции
- •2. Уравнение инжекции
- •Обозначим
- •3. Условия работоспособности инжектора и его оптимальные размеры
- •4. Конструктивные параметры инжектора и составление его характеристики
- •Решая это квадратное уравнение, находим
- •Глава 12. Особенности движения газа в печах и устройства, приводящие его в движение
- •1. Распределение потоков газа в боровах и каналах в условиях неизотермического течения
- •Интегрируя это уравнение по длине канала, получим
- •Потери на трение изменяются по длине канала, поэтому
- •2. Устройство, работа вентиляторов
- •3. Дымовые трубы. Работа и расчет
- •4. Особенности расчета движения жидкости и газа в слоевых металлургических печах и установках
- •Глава 13. Двухфазные течения в трубах и каналах
- •1. Характеристики двухфазных потоков
- •2. Модель гомогенного течения
- •3. Модель раздельного течения
- •4. Модель потока дрейфа
- •5. Системы жидкость – газ
2. Модель гомогенного течения
Модель гомогенного течения основана на том, что двухфазная система рассматривается как псевдооднородная жидкость, к которой применимы обычные законы гидродинамики. Скорость движения и физические свойства такой жидкости по соответствующим данным для составляющих её фаз. В общем случае, вследствие различия скоростей, температур и других параметров состояния системы, между фазами происходит взаимный обмен количеством движения, энергией и массой. Если эти процессы протекают достаточно быстро, как чаще всего и бывает при небольших размерах дисперсных включений, то принимают, что между фазами устанавливается термодинамическое равновесие.
В гомогенной модели принимается, что сплошная и дисперсная фазы перемещаются с одинаковой скоростью равной средней скорости смеси, определяемой из выражения (13.6). Входящая в это выражение плотность смеси при равенстве скоростей фаз определяется исходя из того, что удельный объём смеси v является аддитивной функцией удельных объёмов фаз смеси, т.е. используются соотношения (13.7). С учётом этого соотношения скорость движения смеси будет описываться выражением
wср=
где vсд = vд – vс – изменение объёма при фазовом превращении сплошной фазы в дисперсную.
Поскольку wср = G/(F), то изменение давления вследствие ускорения потока равно
В общем случае по длине канала изменяются давление, массовая концентрация дисперсной фазы (при наличии фазовых превращений), а также площадь поперечного сечения. Выражая плотность через объёмы с помощью (13.7) и проводя дифференцирование, получаем:
Изменение удельных объёмов фаз по высоте обусловлено изменением давления в направлении движения. Поэтому последнее уравнение можно преобразовать к виду:
(13.19)
Первое слагаемое уравнения (13.19), заключённое в фигурные скобки, характеризует влияние фазового превращения, второе – сжимаемость среды при изменении давления, третье – изменение сечения канала на падение давления, обусловленное ускорением потока.
Изменение давления за счёт трения (d p/d x)тр = (/F) 0 можно выразить через скорость движения потока с помощью соотношения 0 = (w2/8), где - гидравлический коэффициент трения:
Для круглого канала диаметром D имеем = D, F = D2/4 и с учётом (13.6)
Заменяя с помощью (13.7), получаем:
(13.20)
Величину gsin, входящую в уравнение (13.18) и определяющую градиент давления за счёт силы тяжести (d p/d x)т, можно записать с учётом (13.7) следующим образом:
(13.21)
Подстановка выражений (13.19) – (13.21) в (13.18) после преобразований даёт:
(13.22)
Слагаемые в числителе уравнения (13.22) учитывают, соответственно, вклад трения, изменения массовой концентрации дисперсной фазы в направлении потока, изменения площади поперечного сечения канала и силы тяжести в градиент давления. Выражение, стоящее в квадратных скобках знаменателя, обратно пропорционально скорости распространения упругих колебаний в двухфазной среде (скорости звука). Поэтому уравнение (13.22) можно представить в виде:
(13.23)
где Ма = wср/wз – число Маха, определяющее отношение скорости потока к скорости распространения упругих колебаний (см. материалы гл.1 и гл. 5).
Величина wз равна:
При определении производной d/d x необходимо учитывать, что массовая концентрация дисперсной фазы (например, пара в парожидкостной смеси) изменяется по высоте как за счёт изменения энтальпии i, вызванного подводом теплоты извне, так и за счёт изменения температуры, обусловленного изменением давления. Поэтому
(13.24)
Связь между величинами i и определяется соотношением::
i = (1 ) ic + iд = ic + iсд. (13.25)
где ic и iд энтальпии сплошной и дисперсной фаз при заданном давлении (температуре), соответственно; iсд изменение энтальпии при фазовом превращении сплошной фазы в дисперсную.
Отсюда
Для системы жидкость – пар icд – теплота парообразования.
Производная ( t/ p)i находится из уравнения состояния f(p, , T) = 0. Производная (/ t)i выражает изменение массовой концентрации дисперсной фазы, обусловленной изменением температуры при адиабатических условиях. Для систем жидкость – пар эта производная характеризует вклад процесса самоиспарения – парообразования, происходящего при адиабатическом понижении температуры кипения, вызванного понижением давления. С учётом (13.24) уравнение (13.23) принимает вид:
(13.26)
Значения vс и vсд, а также производные удельных объёмов фаз по давлению, входящие в приведённые выше уравнения, находятся по диаграммам или уравнениям состояния компонентов. Коэффициент трения рассчитывается по обычным формулам для однофазного потока. При этом для расчёта числа Рейнольдса вводится средняя скорость двухфазного потока и эффективная вязкость смеси, под которой понимается вязкость однородной жидкости с такими же реологическими характеристиками, как у смеси.
Вследствие движения сплошной фазы относительно частиц дисперсной фазы скорость деформации сплошной фазы вблизи частицы оказывается больше, чем вдали от неё (см. гл.4 и гл. 8). Поэтому диссипация энергии в двухфазном потоке превышает диссипацию энергии в однородной жидкости, образующей сплошную фазу, даже если вязкость и плотность последней выше, чем у дисперсной фазы. Теоретический расчёт диссипации энергии в сплошной фазе, окружающей твёрдую сферическую частицу, приводит к выражению
где v – диссипированная энергия, приходящаяся на единицу объёма потока; r – радиус частицы; R – радиус сферического объёма потока, приходящегося на одну частицу (радиус ячейки); K2 – сумма квадратов компонентов тензора скоростей деформации сплошной фазы (см. гл.7); с – коэффициент динамической молекулярной вязкости сплошной среды.
Величина (r/R)3 представляет собой объёмную концентрацию дисперсной фазы . При малых значениях , т.е. для не очень концентрированных суспензий или газовзвесей, в последней формуле можно пренебречь слагаемыми, содержащими r/R в степенях, превышающих 3. Тогда
Для дисперсной фазы, состоящей из сферических частиц, независимо от агрегатного состояния фаз методами статистической механики получено следующее выражение для определения эффективной вязкости смеси
(13.27)
где д – коэффициент молекулярной динамической вязкости дисперсной фазы.
Отсюда для случая твёрдых частиц дисперсной фазы (д >> с) получается формула Эйнштейна
= с(1 + 2,5 ), (13.28)
а для газовых пузырьков (с >> д)
= с(1 + ) (13.29)
Приведённые формулы хорошо согласуются с экспериментальными данными для двухфазных систем с однородными сферическими частицами при их концентрации 10%. В качестве примера на рис. 13.1 приведено сопоставление формулы Эйнштейна и экспериментальных значений вязкости суспензий, полученных различными авторами для широкого диапазона жидкостей, размеров и материалов твёрдых частиц (данные собраны Д. Томасом). Здесь же приведена кривая, полученная теоретически Дж. Бэтчелором
= с(1 + 2,5 + 6,2 2). (13.30)
Р
1 2 3
Для области малых концентраций формула Эйнштейна подтверждается и в случае полидисперсной твёрдой фазы. В концентрированных системах, как можно видеть из данных рис.13.1, эффективная вязкость больше рассчитанной по формуле (13.27). Такие системы нельзя рассматривать как ньютоновские жидкости.
Эффективная вязкость двухфазных потоков в случае частиц неправильной формы зависит от их ориентации в потоке. Для частиц, имеющих форму эллипсоида вращения с отношением полуосей a/b = p (полуось a > b и ориентирована в направлении потока), справедливы формулы:
при 1 < p <1,7
при p >> 1
где k – коэффициент в формуле
= с(1 + k ).
Таким образом, для вытянутых частиц (р ) значение k приближается к 2. Следовательно, увеличение вязкости двухфазных систем по сравнению с вязкостью сплошной фазы колеблется от 2,5с для сферических частиц до 2с для вытянутых частиц.
Использование эффективной вязкости при определении коэффициентов трения даёт приемлемые результаты в случае ламинарного режима течения. При турбулентном режиме из-за больших скоростей деформаций лучшие результаты получаются, когда применяется число Рейнольдса, рассчитываемое по предельной вязкости при больших скоростях сдвига.
Пример 13.1. Смесь воздух – вода течёт по гладкой горизонтальной трубе (внутренний диаметр 20 мм). Массовая скорость смеси 1791 кг/(м2с), а массовая концентрация воздуха (дисперсной фазы) = 0,001. Физические свойства сред: vд = = 0,84 м3/кг; vс = 110-3 м3/кг; д = 1,78910-5 Пас; с = 1,00210-3 Пас. Коэффициент гидравлического трения для однофазного течения задаётся формулой = = 0,186/Re0,2. Требуется определить параметры потока, а также градиент давления в трубе.
Используя формулу (13.1), находим массовый расход смеси, а затем по соотношениям (13.2) – массовые расходы воздуха и воды:
М = mF = (d 2/4)m = 3,140,0221791/4 = 0,5624 кг/с;
Мд = M = 0,0010,5624 = 5,62410-4 кг/с;
Мс = (1 - )М = 0,9990,5624 = 0,5618 кг/с.
Плотности компонентов находятся из соотношения = 1/v. тогда д = 1/0,84 = = 1,1905 кг/м3; с = 1/110-3 = кг/м3. Следовательно, объёмные расходы компонентов составляют:
Vд = Мд/д = 5,62410-4/1,1905 = 4,72410-4 м3/с;
Vс = Мс/с = 5,61810-4 м3/с.
Приведённые скорости фаз равны:
wпр.д = Vд/F = 4,72410-4/0,000314 = 1,504 м/с;
wпр.с = Vc/F = 5,61810-4/0,000314 = 1,789 м/с.
Приведённая скорость смеси (она же средняя скорость) составит
wпр = wср = wпр.д + wпр.с = 1,504 + 1,789 = 3,293 м/с.
Плотность смеси
= 1/[(1 - )vc + vд] = 1/(0,999110-3 + 0,0010,84) = 543,77 кг/м3.
Для определения значений истинных скоростей компонентов найдём их объёмные концентрации (доли):
= Vд/V = 4,72410-4/(4,72410-4 + 5,61810-4) = 0,4568; 1 - = 0,5432.
Тогда истинные скорости компонентов будут равны
wд = wпр.д/ = 1,504.0,4568 = 3,2925 м/с;
wc = wпр.с/(1 - ) = 1,789/0,5432 = 3,3934 м/с.
Поскольку эти скорости практически совпадают с приведённой (средней) скоростью смеси, то скорости дрейфа фаз, как таковые, отсутствуют.
Эффективную вязкость смеси найдём по формуле (13.27)
= 1,00210-3 1,471810-3 Пас.
Средняя скорость wср = m/ = 1791/543,77 = 3,294 м/с. Число Рейнольдса потока
Re = wсрd/ = 543,773,2940,02/1,471810-3 = 24340.
Гидравлический коэффициент трения
= 0,186/Re0,2 = 0,186/243400,2 = 0,0247.
В данном случае изменение давления обусловлено только потерями энергии на преодоление сил трения, поэтому