- •Глава 7. Течение жидкостей и газа в пограничном слое
- •1. Общие свойства двухмерного пограничного слоя
- •2. Уравнения движения в пограничном слое. Характерные толщины пограничного слоя.
- •3. Решение Блазиуса для ламинарного пограничного слоя. Другие решения
- •4. Отрыв пограничного слоя
- •5. Приближенные методы анализа установившихся пограничных слоев
- •Глава 8 потери энергии при движении жидкости и газа
- •1. Потери энергии на трение
- •2. Потери энергии на местные сопротивления
- •3. Сопротивления, обусловленные действием геометрического давления
- •4. Расчет гидравлического сопротивления трубопроводов
- •Глава 9. Истечение газов из отверстий и сопел
- •1. Истечение несжимаемого газа
- •2. Истечение газа под высоким давлением
- •Глава 10. Турбулентные газовые струи
- •1. Основные свойства турбулентных струй
- •2. Динамика затопленной струи
- •3. Развитие турбулентной струи в спутном или встречном потоках
- •4. Соударение двух струй в неограниченном пространстве
- •5. Полуограниченные турбулентные струйные течения
- •6. Ограниченные турбулентные струйные течения
- •Глава 11. Струйный инжектор
- •1. Сущность инжекции
- •2. Уравнение инжекции
- •Обозначим
- •3. Условия работоспособности инжектора и его оптимальные размеры
- •4. Конструктивные параметры инжектора и составление его характеристики
- •Решая это квадратное уравнение, находим
- •Глава 12. Особенности движения газа в печах и устройства, приводящие его в движение
- •1. Распределение потоков газа в боровах и каналах в условиях неизотермического течения
- •Интегрируя это уравнение по длине канала, получим
- •Потери на трение изменяются по длине канала, поэтому
- •2. Устройство, работа вентиляторов
- •3. Дымовые трубы. Работа и расчет
- •4. Особенности расчета движения жидкости и газа в слоевых металлургических печах и установках
- •Глава 13. Двухфазные течения в трубах и каналах
- •1. Характеристики двухфазных потоков
- •2. Модель гомогенного течения
- •3. Модель раздельного течения
- •4. Модель потока дрейфа
- •5. Системы жидкость – газ
3. Модель раздельного течения
В модели раздельного течения принимается, что фазы движутся раздельно, а взаимодействие между ними происходит на границе раздела. Эта модель имеет физический смысл для систем, в которых обе фазы подвижны (системы жидкость – газ и жидкость – жидкость). При подробном анализе движения двухфазной системы на основе модели раздельного течения уравнения неразрывности потока, а также балансов количества движения и энергии записываются для каждого компонента и эти шесть уравнений решаются совместно с уравнениями, описывающими закономерности взаимодействия фаз на границе между ними и со стенками канала. В рассматриваемой ниже упрощенной модели уравнения (13.15) – (13.17) применяются к системе в целом, как и в модели гомогенного течения, но учитывается различие скоростей движения фаз. Для использования этих уравнений нужно входящие в них величины выразить через соответствующие величины для образующих систему фаз. Скорость смеси находится по правилу аддитивности
w = wд + (1 - )wc,
а плотность смеси – по соотношению (13.10). Таким образом, уравнение баланса количества движения (13.16) для канала круглого сечения ( = D, F = D 2/4) приобретает вид:
(13.31)
Уравнение баланса энергии (13.17) преобразуется с учётом того, что изменение количества теплоты пропорционально изменению энтальпии, а изменение работы зависит от изменения кинетической энергии фаз, пропорциональной квадрату скоростей их движения. Поэтому, учитывая (13.25), уравнение баланса энергии (13.17) можно представит следующим образом:
(13.32)
Для решения системы уравнений (13.15), (13.31) и (13.32) необходимо располагать зависимостями, описывающими связь термодинамических свойств с параметрами состояния, а также соотношениями, выражающими напряжение на стенке 0 и объёмное содержание дисперсной фазы в зависимости от расходов фаз, их свойств и геометрических характеристик канала.
Для определения напряжения на стенке, которое пропорционально градиенту давления, обусловленному трением (d p/d x)тр, в модели раздельного течения вводятся корреляционные параметры Фс2 и Фд2 (так называемые параметры двухфазности)
(13.33)
Здесь (d p/d x)тр = 40/D – градиент давления, обусловленный трением двухфазного потока в трубе, а (d p/d x)c и (d p/d x)д градиенты давления при движении в той же трубе и с тем же массовым расходом одной сплошной или одной дисперсной фазы, соответственно.
При отсутствии дисперсной фазы 1/Фд2 = 0 и Фс2 = 1, а при движении одной лишь жидкости, образующей дисперсную фазу, 1/Фс2 = 0 и Фд2 = 1. Градиенты давления при движении в канале однородной жидкости можно выразить при помощи соотношений:
где с и д – гидравлические коэффициенты трения для однофазных потоков сплошной и дисперсной фаз, соответственно.
Параметры двухфазности Фс2 и Фд2 являются функциями структуры потока и физических свойств фаз. Простейшая модель, используемая для установления вида этих функций, основана на представлении, что обе фазы движутся в двух раздельных цилиндрах диаметрами Dс и Dд, причём суммарная площадь поперечного сечения этих цилиндров равна площади поперечного сечения трубы диаметром D, по которой движется двухфазная смесь. Принимается также, что градиенты давления в каждом цилиндре обусловлены только трением и численно равны градиенту давления в реальном потоке. Значения градиентов давления рассчитываются по уравнениям, используемых для однофазных потоков. Согласно изложенным представлениям, объёмная концентрация компонентов в двухфазной системе определяется выражениями
= Dд2 /D 2; 1 - = Dс2 /D 2 (13.34)
а градиент давления, обусловленный трением, находится по уравнению:
Величины wс и wд можно с помощью (13.8) выразить через приведённые скорости фаз, а Dс и Dд с помощью (13.34) – через диаметр трубы D. Получаем:
(13.34,а)
В этом выражении градиенты давления, обусловленные трением при движении в трубе только дисперсной или только сплошной фаз, соответственно. Следовательно, согласно (13.33)
Фд2 = 1/5/2; Фс2 = 1/(1 - )5/2. (13.35)
Исключив из формул (13.35) объёмную концентрацию дисперсной фазы , имеем
(13.35)
Этому уравнению придают более общую форму:
(13.36)
Значение n можно найти по опытным данным. Сопоставление с опытными данными показывает, что для системы жидкость – газ удовлетворительные результаты для всех режимов движения получаются при n = 3,5.
Чтобы исключить неизвестный градиент давления (d p/d x)тр из выражений (13.33), вводится новая переменная Х 2, равная отношению корреляционных параметров Фс2 и Фд2:
(13.37)
Используя правую часть выражения (13.34,а), с учётом определения (13.37) получаем
= (1 + Х 0,8) 1. (13.38)
Расчёт с помощью приведённых уравнений гидравлического сопротивления изотермических потоков без учёта ускорения, вызываемого изменением объёма вследствие изменения давления, состоит в том, что по заданным диаметру трубы, расходам и свойствам фаз определяются значения wпр.с и wпр.д, а также (d p/d x)с и (d p/d x)д. Затем из соотношения (13.37) находится Х, а по формуле (13.38) рассчитывается объёмная концентрация дисперсной фазы . Далее по формуле (13.35) вычисляется Фд2 и из соотношения (13.33) находится градиент (d p/d x)тр. Разность давлений на концах трубы определяется как произведение градиента давления на длину трубы. Если труба вертикальная или наклонная, то дополнительно рассчитывается падение давления под действием силы тяжести по формуле
где L – длина трубы.
Описанная упрощенная модель раздельного течения не учитывает влияния взаимодействия фаз на границе раздела и реальные условия движения двухфазной системы. В действительности граница раздела между фазами не является гладкой, а сами фазы не всегда можно рассматривать как однородные из-за их диспергирования. Для получения более точных результатов используют эмпирические соотношения, приводимые в специальной литературе.
Для расчёта разности давлений при движении в трубе неизотермических потоков необходимо проинтегрировать уравнение (13.31) по высоте трубы с учётом изменения входящих в него величин вследствие фазовых превращений и изменения объёма смеси с давлением. Если воспользоваться для этого приведёнными выше соотношениями, то после соответствующих постановок и преобразований уравнение (13.31) приобретает вид:
(13.33)
Изменение массовой концентрации дисперсной фазы по длине трубы d/d x определяется с помощью уравнения энергетического баланса (13.32). Производная ( / )p выражает изменение объёмной концентрации дисперсной фазы с изменением её массовой концентрации при постоянном давлении, а производная ( / р) - изменение объёмной концентрации дисперсной фазы с изменением давления. Значения этих производных определяются по опытным данным, например, с помощью эмпирической формулы (13.38). Во многих частных случаях уравнения (13.32) и (13.39) существенно упрощаются. Так, при постоянном тепловом потоке q по длине трубы и отсутствии механической работы d /d x = 4q/(Dmiсд).
Пример 13.2. Для условий примера 13.1 определить параметры двухфазности и градиент давления смеси.
Выпишем из условий примера 13.1 исходные данные: д = 1,78910-5 Пас; с = = 1,00210-3 Пас, а также необходимые результаты расчётов: д = 1,1905 кг/м3; wпр.д = 1,504 м/с; с = 1000 кг/м3; wпр.с = 1,789 м/с. По приведённым скоростям фаз и по их свойствам рассчитываем числа Рейнольдса фаз
Reд = 1,19051,5040,02/1,78910-5 = 2001,69;
Reс = 10001,7890,02/1,00210-3 = 35708,58,
а затем и гидравлические коэффициенты трения
д = 0,186/Reд0,2 = 0,186/2001,690,2 = 0,04067:
с = 0,186/Reс0,2 = 0,186/35708,580,2 = 0,02285.
Градиенты давления в "чистых" фазах при их одиночном движении составят
(d p/d x)д = ддwпр.д2/(2D) = 0,040671,19051,5042/(20,02) = 2,738 Па/м;
(d p/d x)c = ccwпр.с2/(2D) = 0,0228510001,7892/(20,02) = 1828,62 Па/м.
Параметр Х равен
По формуле (13.38) находим
= (1 + Х 0,8) 1 = (1 + 25,8440,8) 1 = 0,069.
Тогда по соотношениям (13.35) получаем:
Фд2 = 1/2,5 = 1/0,0692,5 = 798,74;
Фс2 = 1/(1)2,5 = 1/0,9312,5 = 1,196.
Наконец, по выражениям (13.33) вычисляем градиент давления смеси
(d p/d x)тр = (d p/d x)дФд2 = 2,738798,74 = 2186,7 Пас;
(d p/d x)тр = (d p/d x)сФс2 = 1,1961828,62 = 2186,7 Пас.
Можно видеть, что различные методики дают и различные результаты. Прежде всего, это касается объёмных концентраций компонентов (0,069 против 0,4568 в предыдущем примере). Соответственно почти на 40% уменьшился и градиент давления смеси. Ответ на вопрос, какой же из подходов точнее, может дать, очевидно, лишь эксперимент или точное (численное) решение задачи с учётом деформации газовых пузырей.