elemen_teorija

В (1.4.16) мы имеем, вероятно, наиболее простой вариант изменения порядка суммирования элементов двойной конечной последовательности.

Не более чем счетные множества. Если X — множество, то полагаем, что

X		f1	(N ) :	f		XN	}	,	(1.4.17)
(count)[	] = {

получая семейство всех непустых не более чем счетных п/м множества X. Итак, (1.4.17) есть семейство, обладающее следующими двумя свойствами:

1) при всяком выборе последовательности

(xi)iN : N −→ X

непременно имеет место включение

{xi : i N} (count)[X];

2) C (count)[X] (yi)iN XN : C = {yi : i N}.

К не более чем счетным множествам причисляют и ; тогда при всяком выборе множества X

ω[X] = (count)[X] { }.

Разумеется, (1.4.17) — семейство всех таких множеств C P′(X), все элементы которых могут быть занумерованы (быть может с повторениями) элементами N , т. е. натуральными числами. Перечислим некоторые свойства не более чем счетных множеств: если X — множество, то

1)Fin(X) (count)[X];

2)A B (count)[X] A (count)[X] B (count)[X] (как следствие имеем свойство: если n N и (Ci)i 1,n (count)[X]n, то

n

Ci (count)[X];

i=1

данное положение устанавливается рассуждением по индукции);

3) для всякой последовательности (Ci)iN : N −→ (count)[X] непре-

менно	Ci (count)[X];
	iN

4) P′(C) (count)[X] C (count)[X] (отметим следствие:

P(Λ) ω[X] Λ ω[X]) .

50

Заметим, наконец, что для всяких множеств X и Y имеем место свойство:

A × B (count)[X × Y ] A (count)[X] B (count)[X].

Отметим также некоторые очевидные следствия: если X — множество, то

1′) (FIN)[X] ω[X];

2′) если A ω[X] и B ω[X], то A B ω[X] (если A = или B = , то A B совпадает либо с A, либо с B, а потому A B ω[X]; если же A ≠ и B ≠ , то используем свойство 2), получая включение A B (count)[X]), что по индукции распространяется на произвольные конечные объединения множеств из ω[X];

3′) для всякой последовательности (Ci)iN : N −→ ω[X] непременно

Ci ω[X]

(1.4.18)

iN

(если Cj = при всех j N , то множество следовательно, содержится в ω[X]; если же то конструируем последовательность

в левой части (1.4.18) пусто и, Cn ≠ для некоторого n N ,

	(Ci)iN : N −→ (count)[X],
полагая при всяком j	e	, что Cj =	Cj в случае Cj =	и Cj =	Cn при
Cj = ,	N	f	̸	f
		e	(count)[X]
	Ci = Ci
	i N	i N

в силу свойства 3) семейства (count)[X]).

§1.5. Вещественнозначные функции

Впределах настоящего раздела фиксируем непустое множество X и рассматриваем множество

RX = {X −→ R}

(1.5.1)

всевозможных в/з функций на R. В качестве X можно, разумеется, использовать семейство, т. е. множество, «составленное» из множеств. Если f RX и x X, то f(x) R есть значение функции f в точке x; следует различать f (это отношение со специальным свойством и, в частности,

51

множество) и f(x) R, где x X. Среди п/м RX (1.5.1) для наших последующих построений оказывается важным B(X) (1.3.12).

Всюду в дальнейшем линейные операции, умножение и порядок в пространствах в/з функций определяем поточечно, что означает применение соответствующих понятий § 1.3 к значениям этих функций (в этой связи см., в частности, [26, c. 157–159]). Мы рассмотрим, однако, данные достаточно простые понятия подробно, поскольку они играют важную роль в дальнейшем.

Если	α R и f R	X	, то αf R	X
					определяется правилом: (αf)(x) =
	x X; иными словами (в индексной форме)
= αf(x)
			αf = (αf(x))x X .			(1.5.2)

В связи с данным и последующими определениями напомним еще раз, что в наших конструкциях вещественные числа не являются множествами, в то время как функции — суть отношения и, в частности, множества. Поэтому αf в (1.5.2) нельзя истолковать как произведение двух вещественных чисел.

Если f RX и g RX , то f + g RX определяем (в индексной форме) в виде

			(1.5.3)
f + g = f(x) + g(x) x X ;
разумеется, (f + g)(x) = f(x) + g((x) x		X.
		)

e e e e

Итак, в (1.5.2), (1.5.3) определены линейные операции в пространстве функционалов на X : умножение на скаляр и сложение. Имеет смысл определить обратную по сложению в/з функцию и разность двух функций; эти соглашения позволяют упростить обозначения. Итак, если f RX , то по-

(см.(1.5.2)), т. е.

лагаем −f = (−1)f

−f = (−f(x))x X RX ;

R

X

и g R

X

, то

иными словами, (−f)(x) = −f(x)

x X. Если же f

f x

g x

X

f

g =ef + ( ge) =

)

)

x X

R ;

(1.5.4)

−

e(

−

(

−

(

)

ясно, что (f − g)(xe) = f(xe) − g(xe) xe X. В связи с использованием выражений, в которых комбинируются операции (1.5.2), (1.5.3) и (1.5.4), условимся, что операции (1.5.3) и (1.5.4) разделяют сильнее (в сравнении с (1.5.2)): если α R, β R, f RX и g RX , то

	X	,	(1.5.5)
αf + βg = (αf) + (βg) R

52

	X	.	(1.5.6)
αf − βg = (αf) − (βg) R

В § 1.3 рассматривались конечные суммы вещественных чисел. Введем сейчас конечные суммы в/з функций.

Если n N и (fi)i 1,n : 1, n −→ RX , то полагаем, что

n	n
∑	∑
i=1 fi =	(i=1 fi(x))x X RX ;	(1.5.7)
следовательно, в (1.5.7) имеем правило: если x X, то
n	n
∑	∑
(i=1 fi)(x) = i=1 fi(x).

В связи с необходимостью комбинировать операции (1.5.2) и (1.5.7) мы, как и в случаях (1.5.5), (1.5.6), принимаем соглашение: операция (1.5.7) разделяет сильнее. Это означает следующее: если n N , (αi)i 1,n Rn и (fi)i 1,n (RX )n (иными словами, f1 RX , . . . , fn RX ), то

n		n
∑i		∑
		(αifi) R	X	;	(1.5.8)
	αifi =
=1		i=1
это означает, что функция	n	: X −→ R такова, что
	αifi
	=1
n	i∑	n
∑		∑
(i=1 αifi)(x) = i=1 αifi(x) x X.

Иными словами, в/з функция (1.5.8) сопоставляет каждой точке x X

сумму всех чисел αifi(x), i 1, n; (1.5.8) есть линейная комбинация в/з функций f1 . . . , fn с весами α1, . . . , αn.

Введем произведение двух в/з функций с общей областью определения.

Если f RX и g RX , то			(		)
						X		(1.5.9)
				f(x)g(x)	x X R		;
иными словами, fg : X	fg =
	−→ R			действует по следующему правилу
(fg)(x) = f(x)g(x) x X.
В связи с использованием		операции (1.5.9) в сочетании с (1.5.3) и (1.5.4)
		e		e	e e

полагаем в дальнейшем, что операции (1.5.3), (1.5.4) разделяют сильнее:

если f RX , g RX , u RX и v RX , то

( ) ( )

fg + uv = (fg) + (uv) & fg − uv = (fg) − (uv) .

53

Аналогичное соглашение будет соблюдаться в отношении операции (1.5.7): мы полагаем, что в сочетании с (1.5.9) она разделяет сильнее; именно, если

n N ,

(fi)i 1,n : 1, n −→ RX , (gi)i 1,n : 1, n −→ RX ,

то полагаем в дальнейшем, что

n	n
∑i	∑
	(figi).
figi =
=1	i=1

Здесь логика подобна (1.5.8). Всюду в дальнейшем через OX обозначаем в/з функцию на X, тождественно равную нулю: OX RX обладает свойством

	(1.5.10)
OX (x) = 0 x X.

Заметим, что можно, следуя общим определениям § 1.1, также определить OX в виде декартова произведения X × {0}.

Введем определение поточечного порядка на RX , полагая f RX g

RX

def	(1.5.11)
(f 5 g) (f(x) 6 g(x) x X).

В частности, из (1.5.10), (1.5.11) имеем, что f RX

(OX 5 f) (0 6 f(x) x X).

Замечание 1.5.1. В связи с символом 5, а также в связи с рассматриваемыми ранее обозначениями для линейных операций и умножения отметим, что здесь нет какой-либо необходимости указывать в соответствующих обозначениях X. Так, в частности, нет нужды в том, чтобы вместо 5 использовать 5X . Дело в том, что X однозначно восстанавливается по функциям, обслуживаемым той или иной операцией (см. (1.1.20)). В принципе, мы могли бы обратиться к общему определению (1.1.16), применяя его к в/з функциям: функцию f, определяемую в терминах (1.1.16), назовем в/з, если f(x) R x Dom(f). Тогда (1.5.11) следовало бы трансформировать следующим образом: если f и g — функции, для которых Dom(f) = Dom(g), то f 5 g отождествляем со свойством

f(x) 6 g(x) x Dom(f).

Такую же коррекцию можно было бы осуществить для операций, рассматриваемых ранее. Это, однако, усложнило бы соответствующие определения, а потому мы используем более простую систему определений и обозначений, что не приводит, однако, к каким-либо противоречиям, поскольку множество X, используемое, конечно, в соответствующих обозначениях,

54

однозначно определяется функциями, относительно которых формулиру-

ется то или иное суждение.

2

Если A P(X), то def χA[X] RX (индикатор множества A, опреде-

ленный на X) есть такая функция, что		x X \ A).
(χA[X](x) = 1 x A)& (χA[X]( x) = 0			(1.5.12)
В связи с (1.5.12) отметим, что	упоминание X
	e	eв данном обозначении

существенно, т. к. в терминологии § 1.1

( )

χA[X] = (A × {1}) (X \ A) × {0} ;

иными словами, A может быть п/м различных множеств, которые в той или иной ситуации могли бы использоваться в качестве X. Однако, если последнее зафиксировано в той или иной конструкции, то оговаривая это, будем опускать данный параметр в соответствующих обозначениях с целью упрощения последних. Такие временные соглашения, по-видимому, неизбежны при построении содержательных теоретических конструкций.

§1.6. Линейные пространства вещественнозначных функций

Общее определение линейного пространства приведено в многочисленных источниках; см., например, [10,12,14]. Мы конкретизируем его в согласии с определениями предыдущего параграфа. При этом, как и в предыдущем параграфе, фиксируем здесь (т. е. в настоящем параграфе) непустое множество X произвольной природы. В частности, X может быть семейством. Если H P′(RX ), то полагаем, что

(LIN)[H] = {S P′(H) | (αf S α R f S) &
& (f + g S f S g S) ;		(1.6.1)
элементы множества (1.6.1) — суть линейные	пространства в/з функций
	}
на X, каждое из которых содержится в H. В частности,
(LIN)[RX ] = {S P′(RX ) | (αf S	α R f S) &

55

}

& (f + g S f S g S) ; (1.6.2)

В связи с (1.6.2) напомним (1.3.12); в самом деле, имеем свойство

B(X) (LIN)[RX ].

(1.6.3)

Наряду с (1.6.3) полезно отметить, что (см. (1.6.2)) {OX } (LIN)[RX ]. Далее, при H P′(RX ) имеем вложение H RX , откуда следует, что P(H) P(RX ) и, как следствие, P′(H) P′(RX ); в итоге (см . (1.6.1),

(1.6.2))

(LIN)[H] (LIN)[RX ].

Если H P′(RX ) и M P′(RX ), то полагаем, что

		(1.6.4)
(LIN)[H | M] = {S (LIN)[H] | M S}.
В качестве H можно использовать RX .	Более того,	поскольку RX

(LIN)[RX ], то имеем следующее полезное свойство: если M P′(RX ), то непременно

(LIN)[RX | M] P′((LIN)[RX ]);

в частности, (LIN)[RX | M] есть непустое семейство, а потому корректно (см. § 1.1) определяется

		S P′(R	X	)	(1.6.5)
(sp)[M] =	(LIM)[ X
S		M]
	∩R |

(ясно, что M (sp)[M]). Более того, из (1.6.1), (1.6.4) и (1.6.5) вытекает свойство: M P′(RX )

(sp)[M] (LIN)[RX | M]

(1.6.6)

(отметим, что множество X в левой части (1.6.5), (1.6.6) не указываем, поскольку оно однозначно восстанавливается по M, т. к.M ≠ и M RX ). В силу (1.6.5) имеем также

(sp)[M] S M P′(RX ) S (LIN)[RX | M].

(1.6.7)

Множество (1.6.5), (1.6.6) является в силу (1.6.7) наименьшим линейным подпространством RX , еще содержащим M; данное множество называем

линейной оболочкой M. Структура (sp)[M] (1.6.5) хорошо известна:

{

(sp)[M] = f RX | m N (αi)i 1,m Rm

56

m	}
∑		(1.6.8)
(fi)i 1,m Mm : f = i=1 αifi

Замечание 1.6.1. Проверим (1.6.8), фиксируя M P′(RX ) и обозначая правую часть (1.6.8) через Γ. Тогда из (1.6.2), (1.6.4) и (1.6.6) вытекает вложение

Γ (sp)[M];

(1.6.9)

для проверки (1.6.9) следует, конечно, использовать принцип математической индукции (из (1.6.2), (1.6.4) и (1.6.6) вытекает сразу, что

αf + βg (sp)[M] α R β R f M g M;

учитываем при этом очевидное вложение M (sp)[M]). Ясно также, что

M Γ.

(1.6.10)

Тогда (см. (1.6.10)) Γ P′(RX ). Покажем, что Γ — линейное пространство.

Если α R, m N , (αi)i 1,m Rm и (fi)i 1,m Mm, то

α ·	(i=1	αifi)=	(α ·	(i=1	αifi)(x))x X = (α ·	(i=1 αifi(x)))x X =
	m			m		m
	∑		m	∑	m	∑
			∑		∑
		= (i=1 (ααi) · fi(x))x X = i=1 (ααi) · fi Γ

по определению множества Γ. Стало быть,

αf Γ α R f Γ.

(1.6.11)

Выберем произвольно u Γ и v Γ. Тогда, в частности, u RX и v RX . С учетом определения Γ подберем

p N ,

(ai)i

Rp,

(φi)i

Mp

(1.6.12)

1,p

1,p

так, что при этом справедливо

p

∑i

(1.6.13)

u =

aiφi.

=1

Кроме того, подберем также

q N ,

(bj)j

Rq,

(ψj)j

Mq,

(1.6.14)

1,q

1,q

57

для которых реализуется равенство

	q
	∑i		(1.6.15)
v =	biψi.
	=1
Тогда из определения предыдущего раздела вытекает, что u + v			RX
обладает свойством
p	q
∑	∑
(u + v)(x) = (i=1 aiφi(x))+(j=1 bjψj(x))		x X.	(1.6.16)

При этом p + q N ; кроме того,

1, p + q = 1, p p + 1, p + q, 1, p ∩ p + 1, p + q = .

Вернемся к определению неупорядоченных конечных сумм § 1.3, учитывая, в частности, (1.4.5) и то, что 1, p и p + 1, p + q — суть непустые конечные п/м 1, p + q (последнее также является непустым конечным множеством).

Введем теперь кортеж (cs)s

Rp+q по следующему правилу

1,p+q

(cs = as

s

)& (cs = bs−p

s

).

(1.6.17)

1, p

p + 1, p + q

Кроме того, введем кортеж

(ws)s

:

1, p + q

−→ M

1,p+q

по следующему очевидному правилу

(ws = φs

s

)& (ws = ψs−p

s

).

(1.6.18)

1, p

p + 1, p + q

Тогда по определению Γ мы получаем, что

p+q

∑s

(1.6.19)

h = csws Γ.

=1

При этом для функции h : X −→ R имеем в силу (1.5.8), (1.6.19) представление

p+q
∑s	(1.6.20)
h(x) = csws(x) x X.
=1

Покажем, что u + v = h, используя (1.1.23). Итак, пусть x X. Сравним значения

(u + v)(x ) = u(x ) + v(x ) R, h(x ) R.

58

При этом в силу (1.6.16) имеем равенства

p	q
∑	∑
(u + v)(x ) = (i=1 aiφi(x ))+(j=1 bjψj(x )),		(1.6.21)
	p+q
h(x ) =	∑s	(1.6.22)
	csws(x ).

=1

Введем в рассмотрение следующее отображение i : 1, p + q −→ 1, p + q;

именно, полагаем i(j) = j j 1, p + q. Тогда |1, p + q| = p + q и i (bi)[1, p + q; 1, p + q], т. е. i Пp+q. Поэтому для непустого конечно-

го множества 1, p + q и кортежа (вектора)

()

csws(x ) s 1,p+q Rp+q

имеем согласно (1.4.3) и (1.4.6) цепочку равенств

∑	∑	k ∑1
p+q	p+q			ckwk(x ) =
csws(x ) =	ci(s)wi(s)(x ) =
s=1	s=1		,p+q

∑∑

=			ckwk(x ) +			ckwk(x ).	(1.6.23)
	k	1,p		k	p+1,p+q

В (1.6.22) мы используем, конечно, неупорядоченные конечные суммы.

Пусть далее j : 1, p −→ 1, p действует по правилу j(i) = i i 1, p. Тогда j (bi)[1, p; 1, p], т.е. j Пp. При этом в силу (1.4.3) имеем

∑	p	p
	∑	∑

ckwk(x ) = cj(i)wj(i)(x ) = ciwi(x ),

			i=1	i=1
	k 1,p

коль скоро p = |1, p|. С учетом (1.6.17), (1.6.18) и (1.6.22) получаем равенство

∑	∑		∑
p+q	p
s=1 csws(x ) =	(i=1 ciwi(x ))+ k				ckwk(x ) =
			p+1,p+q
p		∑
∑
= (i=1 aiφi(x ))+ k				ckwk(x ).		(1.6.24)
		p+1,p+q

59