книги из ГПНТБ / Понтрягин, Л. С. Обыкновенные дифференциальные уравнения учебник

30		ВВЕДЕНИЕ						[Гл. I
его относительно _у(л); этот		вопрос можно		считать	не	относящимся
к области дифференциальных уравнений, он относится						скорее к		об­
ласти теории	функций. Здесь, однако,		имеются некоторые				вопросы,
которые разбираются в теории дифференциальных					уравнений.			Они
носят следующий характер.		Допустим,	что	уравнение		(13)	является
квадратным	относительно	переменного _у(л). Тогда			оно определяет
двузначную	функцию _у(л) остальных		переменных. Там,			где два		зна­

чения действительно различны, мы приходим в сущности к двум

различным уравнениям вида		(5), но там,	где два значения перемен­
ного у (л), определяемые	уравнением (13), сливаются, расщепление
на два уравнения вида	(5)	невозможно	и приходится рассматривать

уравнение (13). Изучение таких уравнений приводит к понятию об

особых решениях дифференциального

уравнения

и

к

рассмотрению

уравнений на

поверхностях. Эти вопросы, однако,

в

книге

рассмат­

риваться не будут.

П р и м е р ы

1. Решим

уравнение

х -f- ш*х =

0,

(14)

где

о) — положительная константа.

Непосредственно

проверяется,

что

функция

x — r cos (uit -j- a),

г ^

0,

(15)

где

г и а — постоянные, удовлетворяет

этому

уравнению.

Покажем,

что

формула

(15)

охватывает

совокупность

всех

решений. Пусть

дт=

ср (1)— проиЗЕОЛьное решение уравнения (14).

В

силу теоремы 3

(см. конец предложения А)) можно считать, что

решение

х =

^>(/)

определено для всех значений t. Положим ср(О) =

л:0,

<?(0) = jc0.

Не­

посредственно проверяется, что можно

подобрать постоянные г

и а

таким образом, чтобы имели место равенства r c o s a =

jc„, — ra>sina =

=jc0. Если эти равенства выполнены, то решения (15) и cp(t) имеют

одинаковые	начальные	значения 0, х 0, х 0 и потому совпадают			(см.
предложение	А)).
Функция (15) описывает гармонический колебательный процесс.
Положительная константа г			называется	амплитудой колебания	(15),
а a — его начальной		фазой	или просто	фазой. Уравнение (14)	на­

зывается уравнением гармонических колебаний. Число со называется частотой колебаний, хотя в действительности число колебаний

всекунду определяется формулой

2.Рассмотрим движение точки р массы т по горизонтальной прямой I под действием силы F, притягивающей ее к точке о на

§ 4]

СВЕДЕНИЕ ОБЩЕЙ СИСТЕМЫ УРАВНЕНИЙ К НОРМАЛЬНОЙ

81

той же прямой и пропорциональной расстоянию между точками р и о. Для составления уравнения движения точки р введем на прямой / координату, приняв за начало точку о. Переменную координату точки р обозначим через x = x(t). Тогда в силу второго закона Ньютона уравнение движения точки р будет иметь вид:

		т х =		F = —kx.
Это уравнение обычно записывается в виде:
			т х	k x = 0.				(16)
Физически сила		F может	быть	осуществлена какой-либо			пружиной
(рис. 5). Число k называется коэффициентом упругости							этой	пру­
жины.	Согласно	формуле	(15)	решение	уравнения (16)		имеет	вид:
		х - ■г cos	v- t -j- а			: 0.
Таким	образом,	частота колебаний			А	точки р	определя-
ется ее	массой т и упругостью			пружины	т	не зависит от		на­
					k; она

чальных условий. От начальных условий, т. е. от положения jc0 точ­

ки р	и ее скорости ,£0	в момент t = 0, зависят амплитуда г коле­
бания	и его начальная	фаза а.

3. Составим и решим приближенно уравнение математического маятника. Математический маятник представляет собой точку р массы т, которая под действием силы тяжести движется по окруж­ ности К радиуса /, лежащей в вертикальной плоскости. Величина I называется длиной маятника. На окружности К введем угловую ко­ ординату, приняв за начало координат самую нижнюю точку о ок­ ружности К (рис. 6). Переменную координату точки р обозначим через cp = cp(f). Точка р находится под действием силы тяжести

P = m g , направленной вертикально вниз. Составляющая этой силы, направленная по нормали к окружности, уравновешивается благодаря реакции связи (окружности или нити, заставляющей точку двигаться по окружности); составляющая, направленная по касательной к ок­ ружности в точке р, равна — «g'sin <р (если за положительное

32

ВВЕДЕНИЕ

[Гл 1

направление на касательной принять направление, соответствующее возрастанию угла ср). Таким образом, уравнение движения точки р имеет вид:

mly — —/Mgsin f

или, иначе,

Щ-j-g'sin f — 0.

(17)

Уравнение это нелинейно, и его решение представляет большие трудности. Если предположить, что координата ср точки р в процессе движения мало отклоняется от нуля, то приближенно в уравнении (17) можно заме­ нить sin ср через <р, и мы по­ лучим «приближенное» ли­ нейное уравнение маятника:

t<f + g? = 0.

Его решение имеет вид (см. (15)):

<р = г с о в ( |/" £ * + «).

Таким образом,частота «ма­ лых колебаний» маятника определяется формулой о> =

Рис. 6.

=/?•

Число v малых колебаний маятника в секунду определяется фор­ мулой

	, =	2к =	2тс V iI. *
Например, длина секундного маятника, т.				е. маятника,	совершаю­
щего одно колебание	в секунду (v = l /сек),			определяется	формулой
	I =	- f —ceK* *=« 0,25		м .
§ 5. Комплексные дифференциальные уравнения
До сих пор мы	рассматривали		лишь действительные		уравнения
и их действительные	решения. В некоторых			случаях, однако, напри­

мер при решении линейных уравнений с постоянными коэффициен­

тами,	бывает легче		найти	сначала к о м п л е к с н ы е				р е	ш е н и я	дей­
ствительного		уравнения,		а затем	уже	выделить	из	них	действитель­
ные	решения.	Для	изложения		этого	подхода	мы	должны		ввести

§ 51	КОМПЛЕКСНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ						33
понятия комплексной			функции действительного переменного				и комп­
лексной системы дифференциальных уравнений.
А)	Говорят, что		задана	комплексная	функция y(t)	действитель­
ного	переменного	t,	если	на некотором	интервале г,	t	га каж­

дому значению переменного t поставлено в соответствие комплексное число

х (0 = ?(<) + *К0 .

где (f(t) и ф(£) являются действительными функциями действитель­ ного переменного t. Функция ср(^) называется действительной ча­ стью комплексной функции %(t), а функция ф(£) называется мнимой

частью	комплексной	функции y(t). Комплексная	функция у (t)	назы­
вается	непрерывной,	если функции’"' ср (t) и ф(^)	непрерывны.	Точно
так же	комплексная	функция y(t) называется дифференцируемой,
если дифференцируемы функции <р(t) и ф(t); производная y(t)				комп­
лексной функции y(t)		определяется формулой

Х(0 = 4* (0 + ^ ( 0 -

Непосредственно проверяется, что имеют место обычные правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух комплекс­ ных функций действительного переменного.

Б) Пусть

			zJ =		hJ(t, z \	zn);	7 = 1, ....	п	( 1)
— нормальная			система дифференциальных уравнений. Относительно
функций h1(£,			zx, ..., zn),			стоящих	в правых частях		уравнений, мы
предположим,			что они определены для комплексных						значений пере­
менных		z 1..........zn.			Мы можем ограничиться, например, случаем,
когда	функции			эти	являются многочленами относительно перемен­
ных	z l,	...,	zn	с	коэффициентами,		являющимися	действительными

или комплексными непрерывными функциями действительного пере­ менного t, определенными и непрерывными на интервале

При этих условиях вполне законна	постановка вопроса об	отыскании
к о м п л е к с н ы х р е ш е н и й системы ( 1). Систему
г* = Х](*У>	f = l ........ п,	(2)

комплексных функций действительного переменного t, заданных на некотором интервале будем называть решением системы (1), если при замене переменных zJ функциями переменного t по формулам (2), мы получим систему тождеств по t на этом интервале. Так как по предположению, правые части уравнений ( 1) являются многочленами относительно г1, ..., zn, то они определены для всех значений этих переменных. Оказывается, что имеет место следующая теорема существования и единственности для системы (1). Пусть

^у) ^У» «• • I 2у

2 Понтрягин Л . С.

34

ВВЕДЕНИЕ

[Гл. I

— произвольная система

начальных

значений. Здесь

z\,

zJ — про­

извольные

комплексные

числа,

a

t0— произвольное

действительное

число, удовлетворяющее

условию qx

t0

д.г. Тогда

существует

ре­

шение

^ =

x '(0 ;

j — 1........ «>

системы (1), удовлетворяющее начальным условиям

ХУ(*»)=

*£

У = 1» •••>«•

Всякие два решения с одинаковыми

начальными

условиями совпадают

на общей части их интервалов

определения.

Если

система

(1)

ли­

нейна, т. е.

многочлены

hJ имеют

степень 1, то для

любых

началь­

ных значений существует решение уравнения (1),

определенное па

всем интервале

Эта теорема существования и единственности для нормальной си­

стемы комплексных уравнений непосредственно вытекает

из

тео­

ремы 2 после расщепления

каждой

комплексной неизвестной функ­

ции г1 на ее действительную и мнимую части. В самом деле, по­ ложим:

f

=

х 1 ~'г if-,

] =

\ ,

..., и,

(3)

и

заменим

переменные

z’\

j =

1, ...,

п,

в

системе

( 1)

по форму­

лам

(3);

тогда

будем

иметь:

x J+

/ /

=

/ (t,

Xх,

х п,

у \

у п) +

+ igi(t, Xх,

х п, у \

...,

у п),

(4)

где

f

и У — действительные функции

действительных

аргументов,

удовлетворяющие соотношениям

f ( t ,

х \

У , У ,

y n) + ig’{t, х \

У , у \

/*) =

=

hj (t,

У +

iyx,

х п -\-1уп).

Из

(4)

следует:

x J— f ( t ,

х \

х п, У,

у"),

j =

1..........п,

\

y J — g'(t>

х х,

х", у ..........У ),

у"=1,

п.

/

^

Таким образом, нормальная система (1) комплексных уравнений за­

менилась нормальной системой (5)

действительных

уравнений.

Так

как

правые

части

уравнений

( 1)

являются

многочленами относи­

тельно z \

г", то правые части уравнений (5) являются многочле­

нами

относительно

х 1,

х п, у 1,

у п.

Так как

коэффициенты

многочленов h! являются

непрерывными

функциями

переменного t

на интервале

q\< ^t< ^qit

то

на том

же

интервале и

коэффициенты

многочленов f

и У

являются

непрерывными

функциями.

Таким

об­

разом, правые части

системы

(5) определены

и удовлетворяют усло­

виям

теоремы

2 в открытом

множестве Г, определяемом

единствен-

$ 5 ] КОМПЛЕКСНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ' 35

ным условием

<у,

налагаемым

на

t,

в то время

как

осталь­

ные переменные

X х,

X я

и у 1,

у п

остаются

произвольными.

Полагая

г 1 — Х 1

(Уо’

j = u . . . , n ,

ХУ(0 =

Т/(0 +

<Ф/(0,

/ = 1 ,

.... я.

мы приходим к задаче

отыскания

решения

системы

(5) при

началь­

ных условиях

<fV«) =

*&

У = 1 ,

.... л,

j

У (*о)=.у£

У= 1......... л. J

В силу теоремы

2

решение

это

существует;

всякие

два

решения

с одинаковыми

начальными

условиями

совпадают

на

обшей

част

их интервалов

определения.

Если система

(1)

линейна,

то

система

(5) также

линейна,

и по­

тому заключительная

часть

предложения

Б) вытекает из теоремы 3.

Следует отметить, что система (1), в правых

частях

которой

стоят многочлены

относительно

переменных

z x,

... ,

zn,

может

быть

д е й с т в и т е л ь н о й ,

т. е.

коэффициенты этих

многочленов

могут

быть действительными функциями переменного t; тем не менее мы можем и в этом случае рассматривать систему (I) как комплексную,

именно искать ее комплексные решения, считая,		что функции г 1,	zn
комплексны.	Этот подход к действительным уравнениям применяется
потому, что	в некоторых случаях легче найти	комплексные решения

действительных уравнений, чем их действительные решения. В этом случае находят сначала комплексные решения действительной системы уравнений, затем из комплексных решений выделяют действительные решения, т. е. рассматривают только такие комплексные решения, мнимая часть которых обращается в нуль. Именно таким приемом будут в дальнейшем решаться линейные уравнения с постоянными коэффициентами.

Так же, как в действительном случае, и в комплексном случае к нормальной системе можно свести довольно общие системы диффе­ ренциальных уравнений. Таким образом, мы имеем в комплексном случае предложения, аналогичные предложениям А), Б) § 4. Здесь дадим только формулировку теоремы существования для одного уравнения л-го порядка.

В) Пусть
z W = f( t, z,	i,	..., г ‘п-»>)	(6)
— уравнение порядка я, в котором		правая часть	является многочле­
ном относительно переменных	z,	i, ... ,	с коэффициентами,

являющимися непрерывными действительными или комплексными

функциями	переменного t,	определенными на интервале q\< ^t <^q+
Если теперь	<0, гй, i 0, ...	— произвольные начальные значения,

2*

36

ВВЕДЕНИЕ

[Гл I

где .70, £п, ... , — произвольные комплексные числа, а <0 — дей­ ствительное число, удовлетворяющее неравенствам <?i<^o<C 9'a> то существует решение z — ^(t) уравнения (6), удовлетворяющее началь­ ным условиям

<F(*o)= 2o> Ф(<о) = -?о. •••. <Р,я" 1)(*«) = 4 п-1)-

Всякие два решения с одинаковыми начальными условиями совпа­ дают на общей части их интервалов определения. Если уравнение (6)

линейно,		т. е.	многочлен /	имеет степень 1, то		для	любых	началь­
ных	значений		существует	решение, определенное на			всем интерва­
ле	В §	7 и далее важную		роль будет	играть	комплексная		функ­
ция	еи	действительного переменного t,			где X— комплексное			число.

Дадим здесь определение этой функции и докажем некоторые ее

свойства.
Г) Пусть w — u-\-iv — произвольное комплексное число;						положим:
	ew =	еи(cos v -f-1 sin г»).				(7)
Легко видеть, что имеет место соотношение
Ниже будет доказана формула
			1			( 8)
Из (7)	непосредственно следуют		известные	ф о р м у л ы		Эйле ра :
	e i v _ ^ _ e- i v		_____	e i v _ g - i v
	cos V -		Sin V :	21
Пусть	X= (х —)-1ч есть комплексное число. В силу				формулы (7) мы
имеем:	еи — е**(cos ч1 -f-1sin 4t).
Мы покажем, что для комплексных значений X имеет место следую­
щая формула дифференцирования:
		=				(9)
хорошо известная для действительных значений параметра X.
Формула (7), принятая		здесь	за о п р е д е л е н и е функции е®
комплексного переменного w, может быть				д о к а з а н а ,		если фун­
кцию ew определить с помощью ряда
	ew= 1 -|- w -j-	2! ^	— _l	_L— 4-
			31	n\	' •”

Мы, однако, будем считать, что функция ew определяется формулой (7).

§ 5 ]	КОМПЛЕКСНЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ			37
Докажем формулу (8). Пусть
	Wl = Hi -j- ly1, Wi — щ -j- lvt.
Тогда	имеем:
eWl eWt — e ‘l (cos		sin тц) e11'1 (cos vt	1sin щ.) =
	_	e<‘t +«2 (cos ^	—(—7 sin (t»t -f- т»Д) =	eWl + w\

Докажем теперь формулу (9). Рассмотрим сначала случай чисто мни­

мого числа X=				/v. Мы имеем:
±	е ы		— (cosvi		-1sin v£) =		— v sin v£ -f- h cos v£ =
dt	е							= h (COS v£ -(- / sin v£) =	he'^.
Далее,		для произвольного X= jj. —|—/v в						силу формулы дифференци­
рования			произведения			имеем:
rtt	е	—	JL	„ы		d (е»‘)еы +		- ^ ( е ы ) :
		—	dt ^	) =		dt
						:р,е^	еы - f he[Uеы = (р, + N) е»‘+ы =		\еи .

Пр и м е р ы

1.Рассмотрим комплексное уравнение

		2	= \z,	( 10)
где	z — x - \- ly есть	комплексная	неизвестная функция	действитель­
ною	переменного t,	a X= p-{-/v— комплексное число.		Из (9) сле­
дует, что		z =	ceu	( 11)

есть решение уравнения ( 10) при произвольной комплексной посто­ янной с. Покажем, что формула ( 11) охватывает совокупность всех решений. Для этого, как и в примере 1 § 1, можно было бы вос­ пользоваться теоремой единственности, но мы используем здесь и тео­ рему 3 , для того чтобы показать, как при ее помощи можно несколько упростить вычисления. В данном случае эти упрощения очень незна­ чительны, но в дальнейшем аналогичный прием может дать более существенные результаты. Итак, пусть z = y(£)— произвольное ре­ шение уравнения (10). В силу теоремы 3 (см. заключительную часть предложения В)) можно считать, что решение это определено для всех значений t. Полагая y(0) = z0, мы видим, что решение z — у (£) имеет своими начальными значениями числа 0, г„. Те же начальные значе­ ния имеет, очевидно, и решение

г — г„еи,

получаемое из (.11) при с = 20.

38		ВВЕДЕНИЕ	[Гл I
Если	положить с = геы,	где г ^ О	и а — действительные числа,
то решение ( 11) записывается		в форме
		геU-И'я	( 12)

Расщепим теперь уравнение (10) на действительную и мнимую части. Мы имеем:

х -j- /у = (y -f h) (х - f (у) = (|ur — vy) -f- i ('ix -j- yy),

или

X = [WC — vy, |

(13)

_y=rvx + [i.y. j

Таким образом, система (13) двух действительных уравнений равно­ сильна одному комплексному уравнению ( 10), и потому произвольное решение x = <f(i), y = ty(t) системы (13) связано с произвольным ре­ шением (12) уравнения ( 10) соотношением

ср (I) - } -Щ (t) = rew + ,’“ = r (elLt cos ( v f - j - a ) 1-sinf -('it

a ) ) .

Отсюда получаем:

	x =	<p (t) =	re^ cos (it -)- a),	1	(14)
	у =	ф(0 =	rellJ sin ('it -j- a).	J

Итак, пользуясь комплексными функциями и уравнениями, мы нашли решение (14) системы (13) действительных уравнений.

2. Дадим еще один пример расщепления комплексного уравнения на два действительных. Пусть

	i =	г* + 1г
— комплексное уравнение, где		г — х -\-1 у есть комплексная неиз­
вестная функция действительного переменного t. Мы имеем:
■* + #> = (■* + 0 0 * +	Ц х +	iy) = (х* — у* — у)-\~1 (2ху -J- л:)
и потому	х = х* — у* — у,
|

\ji> = 2ху -f- х.

§6. Некоторые сведения о линейных дифференциальных

уравнениях

Система дифференциальных уравнений называется линейной, если все неизвестные функции и их производные, вместе взятые, входят в уравнения системы линейно. Таким образом, система линейных

§ Ч	НЕКОТОРЫЕСВЕДЕНИЯ О ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЯХ				39
уравнений	самого	общего вида можег быть записана		в форме
	/. ь		/ = 1,	п.	(1)
Здесь х 1, ..., х п — неизвестные функции независимого				переменного t,
а коэффициенты		а,-/*(0	и свободные члены bt {t) уравнений являются
функциями	t. Если все		свободные члены системы (1)	тождественно

равны нулю, то система называется однородной. Каждой линейной

системе	соответствует	однородная линейная система,	получающаяся
из нее	отбрасыванием	свободных членов. Таким образом, линейной
системе( 1) соответствует линейная однородная система
	/■*	Л.	(2)
Отметим несколько		непосредственно проверяемых	свойств линей­

ных систем. При их формулировке будет предполагаться, что псе

коэффициенты

и

свободные

члены

линейной

системы

определена

и непрерывны

на

интервале

qx < ^t< ^q2\ все рассматриваемые

реше­

ния будут предполагаться заданными на всем интервале

A)

Если у ‘=

ср‘ (<) и y =

1 = \, ... ,

п — два

решения

ли­

нейной однородной системы (2),

а с,

и с9— два произвольных числа,

то система функций

/

=

(0 -Ь о Ч (0 .

1— \,

....

п,

также представляет собой решение однородной

системы

(2).

Анало­

гичное утверждение справедливо также для трех

и большего

числа

решений однородной системы (2).

Б)

Если х ‘ =

фг(Н и х ‘ —

(0> * = 1 .

л, — два

решения

ли­

нейной

системы ( 1), то

система

функций

У = х'( 0 — Ф'(0 ;

представляет собой решение системы однородных уравнений (2). Да­

лее, если у 1 = <р* (0 , / — 1, ..., л,				есть	решение однородной			системы
уравнений (2), а		х ‘ =	ф'(0 ; ^ = 1 ........			л, есть	решение линейной
системы (1), то система функций
		х 1— <рг(0 + У (0 ;			* = 1> ...»		».
представляет собой решение линейной системы (1).
B)	Допустим,	что	свободные	члены		системы	линейных	уравне­
ний (1)	представлены		в виде сумм:

М 9 = « | ( 0 + Р аШ * = ! » . . . ,