- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 90
- •1. Теоретическая часть. Введение
- •Раздел 1. Понятие события и его вероятности.
- •1.1. Предмет теории вероятности.
- •1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.
- •1.3. Классическое определение вероятности.
- •1.4. Геометрические вероятности.
- •1.5. Частота и вероятность.
- •1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы.
- •1.8. Формула полной вероятности.
- •1.9 Формула Бейеса.
- •Раздел 2. Последовательные независимые испытания
- •2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли.
- •2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
- •Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства.
- •3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
- •3.2. Свойства функции распределения.
- •3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •3.4. Числовые характеристики случайных величин.
- •Раздел 4. Примеры распределений случайных величин.
- •4.1. Биномиальное распределение.
- •4.2. Теорема Пуассона
- •4.3. Закон Пуассона.
- •4.4. Равномерное распределение.
- •4.5. Показательное распределение.
- •4.6.Нормальный закон распределения.
- •Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы).
- •5.1. Понятие о системе случайных величин.
- •5.2. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.
- •5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.
- •5.5. Зависимые и независимые случайные величины.
- •5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора).
- •5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.
- •6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
- •6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
- •6.4. Распределение произведения.
- •6.5. Распределение квадрата случайной величины.
- •6.6. Распределение частного.
- •6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
- •Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.
- •7.1. Основные теоремы о математическом ожидании.
- •7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.
- •7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.
- •Раздел 8. Характеристические функции.
- •8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
- •8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
- •Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.
- •9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
- •9.2. Закон больших чисел.
- •9.3. Следствия закона больших чисел.
- •Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •10.1. Центральная предельная теорема.
- •10.2. Теорема Ляпунова.
- •10.3. Теорема Лапласа.
- •2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.
- •1.1. Краткая теоретическая часть.
- •1.2. Тест.
- •1.3. Решение типовых задач.
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.
- •2.1. Краткая теоретическая часть.
- •2.2. Тест
- •2.3. Решение типовых задач
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1. Краткая теоретическая часть
- •3.2. Тест
- •3.3. Решение типовых задач
- •3.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.
- •4.1. Краткая теоретическая часть
- •4.2. Тест
- •4.3. Решение типовых задач
- •4.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 5. Формула полной вероятности.
- •5.1. Краткая теоретическая часть
- •5.2. Тест.
- •5.3. Решение типовых задач
- •5.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 6. Формула Бейеса.
- •6.1. Краткая теоретическая часть
- •6.2.Тест
- •6.3. Решение типовых задач
- •6.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 7. Последовательные независимые испытания.
- •7.1. Краткая теоретическая часть
- •7.2. Тест
- •7.3. Решение типовых задач
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •8.1. Краткая теоретическая часть а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •8.2. Тест
- •А) только к дискретным случайным величинам
- •8.3. Решение типовых задач а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •9.1. Краткая теоретическая часть
- •9.2. Тест
- •9.3. Решение типовых задач
- •9.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •10.1. Краткая теоретическая часть
- •10.2. Тест
- •10.3. Решение типовых задач
- •10.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 11. Закон Пуассона.
- •11.1. Краткая теоретическая часть
- •11.2. Тест
- •11.3. Решение типовых задач
- •11.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 12. Закон нормального распределения.
- •12.1. Краткая теоретическая часть
- •12.2. Тест
- •12.3. Решение типовых задач
- •12.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Литература
3.4. Числовые характеристики случайных величин.
Наиболее полная вероятностная характеристика поведения случайной величины определяется функцией распределения. Однако в ряде случаев не требуется столь полная ее вероятностная характеристика, а необходимо знать лишь некоторые фрагменты ее вероятностного поведения. В теории вероятностей и ее приложениях для характеристики поведения случайных величин используют некоторые постоянные величины, получаемые по определенным правилам. Среди них особенно важны математическое ожидание, дисперсия и моменты различных порядков. С их помощью допускается решение многих вероятностных задач.
1. Математическое ожидание. Среди характеристик случайных величин прежде всего отметим характеристику положения случайной величины на числовой прямой, то есть укажем некоторое число(значение) вокруг которого группируются все возможные значения случайной величины.
Рассмотрим следующий пример. Пусть при стрельбе из некоторого орудия для поражения цели требуется один снаряд с вероятностью , два снаряда – с вероятностьюp2 , три снаряда - с вероятностью p3 …, n снарядов - с вероятностью pn. Известно что при стрельбе цель будет поражена. Спрашивается сколько снарядов в среднем потребуется для поражения цели.
Итак, известно, что
Тогда
Пусть - возможные значения случайной величиныХ, а - соответствующие им вероятности.
Определение 1. Если ряд (или) сходится абсолютно, то есть(или), то его сумма называется математическим ожиданием случайной величиныХ и обозначается М[X] или Е[X].
Для непрерывных случайных величин естественным будет следующее обобщение:
Определение 2. Пусть Х – непрерывная случайная величина и f(x) – ее плотность распределения, то математическим ожиданием случайной величины Х называется интеграл , если он сходится абсолютно, то есть когда существует интеграл.
Часто математическое ожидание обозначают символом .
Математическое ожидание существует не для любой случайной величины. Пусть Х дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения представленный в табл. 3.4.1.
Табл.3.4.1
|
2 |
22 |
… |
2k |
|
|
|
… |
|
|
|
то есть данный ряд есть ряд распределения случайной величины Х. Определим математическое ожидание случайной величины Х, , так как ряд расходится, то математическое ожидание не существует.
Кроме математического ожидания на практике применяются и другие характеристики положения, в частности мода и медиана.
2.Мода. Определение 3. Модой случайной величины Х называется наиболее вероятное ее значение. Термин «наиболее вероятное значение», строго говоря, применим только к дискретной случайной величине, для непрерывных случайных величин модой является то значение, при котором плотность вероятности достигает наибольшего значения. Условимся обозначать моду символом М0 .
Если кривая распределения(многоугольник) имеет более одного максимума, то распределение называется полимодальным, если распределение имеет минимум, то оно называется «антимодальным».
3.Медиана. Определение 4. Медианой случайной величины Х называется такое число Ме на числовой прямой, для которого справедливо следующее равенство: , то есть одинаково вероятны, события состоящие в том, что случайная величинаХ окажется меньше или больше чем число Ме.
Медиана это абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения делится пополам. В случае симметричного модального распределения медиана совпадает с математическим ожиданием и модой.
4. Моменты, дисперсия, среднеквадратическое отклонение. В теории вероятностей употребляется ряд характеристик, которые описывают различные свойства распределения случайных величин. Наиболее важными понятиями являются понятия начальных и центральных моментов.
Определение 5. Начальным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-той степени данной случайной величины, то есть
|
(3.4.1) |
Для дискретной случайной величины начальный момент k-го порядка определяется формулой , а для непрерывной случайной величины с плотностью распределенияf(x) соответственно .
Не трудно заметить, что первый начальный момент есть математическое ожидание случайной величины.
Определение 6. Центрированной случайной величиной , соответствующей случайной величине Х будем называть величину, определяемую равенством =Х-mx. Заметим, что
|
|
Определение 7. Центральным моментом k-го порядка случайной величины Х называется математическое ожидание k-той степени центрированной случайной величины :
|
(3.4.2) |
Формулы для вычисления центральных моментов имеют вид:
для дискретной случайной величины Х:
|
|
для непрерывной случайной величины Х:
|
|
Полезно отметить, что для дискретной случайной величиныХ может быть вычислен по следующей формуле:
|
|
Аналогичную формулу можно получить для непрерывной случайной величины Х.
Ввиду крайней важности второй центральный момент называют дисперсией случайной величины. Дисперсия случайной величины есть характеристика рассеяния(разбросанности) значений случайной величины относительно mx . Для дисперсии вводят специальное обозначение:
|
(3.4.3) |
Определение 8. Дисперсией случайной величины Х называется математическое ожидание квадрата соответствующей центрированной случайной величины.
Дисперсия имеет размерность квадрата случайной величины Х. Поэтому часто для наглядности решения задачи пользуются величиной размерность, которой совпадает с Х. Ее называют среднеквадратическим отклонением и определяют по следующей формуле
|
(3.4.4) |
5. Коэффициент асимметрии (скошенности). Характеризует смещение распределения случайной величины Х относительно математического ожидания
|
(3.4.5) |
- mx смещено вправо или распределение смещено влево относительно математического ожидания m1.
- mx смещено влево или распределение смещено вправо относительно математического ожидания m2.
Для симметричных законов .
6. Эксцес. Характеризует островершинность или туповершинность кривой распределения. Определяется соотношением
|
(3.4.6) |
Для гаусовского(I) распределения Ех=0.
Ех>0–островершинность(II)
Ех<0–туповершинность(III)
Простейшие свойства основных числовых характеристик.
1)Доказательство.
2)Доказательство приведем для непрерывной случайной величины.
3), так как.
7. Квантили.
Определение 9. Квантилью xp уровня случайной величины Х называется решение уравнения.
Это определение абсолютно корректно для случайных величин со строго монотонной функцией (рис. 3.4.6.а) и требует уточнений для случая, когда решением уравнения является целый промежуток (рис. 3.4.6.б). В последнем случае введение квантили вопрос договорённости. Мы будем считать, что.
Для случая непрерывной случайной величины можно дать другое геометрическое толкование квантили : это такая точка на оси абсцисс, левее которой график плотности распределения ограничивает площадь, численно равную(рис3.4.7)
Рис 3.4.7. Геометрическая интерпретация для функции
Рис 3.4.8. Медиана, верхняя и нижняя квартили распределения для функций и
Наиболее часто встречаются квантили уровней (медиана распределения),(нижняя квартиль) и(верхняя квартиль). Эти квантили делят числовую прямую на 4 части, вероятность попадания в которые равна(см. рис. 3.4.8).
Использование квантилей распределений широко применяется в задачах математической статистики.