10.3. Теорема Лапласа.

Если - число появлений случайного события А в п независимых повторных испытаниях с исходами , вероятности которых , то

(10.3.1)

Доказательство. Пусть - число появлений события А в i-м независимом повторном испытании в серии из п испытаний. Очевидно это - дискретная случайная величина с рядом распределения:

0	1
q	р

где .

Очевидно, существуют

	(10.3.2)

В силу независимости испытаний случайные величины можно считать независимыми.

Таким образом, для рассматриваемых здесь случайных величин выполняются все условия теоремы Ляпунова.

Следовательно, имеет место соотношение (10.2.2).

Случайную величину в выражении (10.2.2) в рассматриваемом случае можно представить в виде

(10.3.3)

где

при условии независимости случайных величин .

Таким образом, доказано, что если выполнены условия теоремы Лапласа, то

Отсюда, учитывая определение стандартного нормального закона , находим, что соотношение (10.3.1) справедливо.

2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.

1.1. Краткая теоретическая часть.

Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности (равновозможности) событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Для примера: при бросании кубика, который имеет точную форму куба и изготовлен из вполне однородного материала, равновероятными событиями будут выпадения какого-нибудь определенного числа очков (1,2,3,4,5,6), обозначенного на гранях этого куба, поскольку в силу наличия симметрии ни одна из граней не имеет объективного преимущества перед другими.

В общем случае рассмотрим какую-либо группу G, состоящую из n попарно несовместимых равновозможных событий (назовем их элементарными событиями): .

Образуем теперь систему F, состоящую из невозможного события V, всех событий E_k группы G и всех событий А,B,С… которые мо­гут быть подразделены на частные случаи, входящие в состав группы G.

Например, если группа G состоит из трех событий , то в системуF входят события V, E₁,E₂,E₃,E₁+E₂, E₂+E₃, E₁+E₃,U=E₁+E₂+E₃. и т.д.

Легко установить, что система F есть поле событий. В самом деле, очевидно, что сумма, разность и произведение событий из F входят в F; невозможное событие V входит в F по определению, а достоверное событие U входит в F, так как оно представляется в виде

Классическое определение вероятности дается для событий системы F и может быть сформулировано так:

Если событие А подразделяется на т частных случаев, входящих в полную группу из n попарно несовместимых и равновозможных событий, то вероятность Р(A) события А равна

Например, при однократном бросании игральной кости полная группа попарно несовместимых и равновероятных событий состоит из событий , которые состоят соответственно в выпадении 1,2,3,4,5,6 очков. Событие, состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на три частных случая, входящих в состав полной группы несовместимых и равновероятных событий. Поэтому вероятность событияС равна .

Очевидно также, что в силу принятого определения

и т. д.

В теории вероятностей широко используется следующая термино­логия, к которой мы часто впоследствии будем обращаться. Представим себе, что для выяснения вопроса, произойдет или не произойдет событие А (например, выпадение числа очков, кратного трем), необходимо произвести некоторое испытание (т. е. осуществить комплекс условий), которое дало бы ответ на поставленный вопрос (в нашем примере требуется бросить игральную кость). Полная группа попарно несовместимых и равновероятных событий, которые могут произойти при таком испытании, называется полной группой возможных результатов испытания. Те из возможных результатов испытания, на которые подразделяется событие А, называются результатами испытания, благоприятствующими А. Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что вероятность Р(A) события А равняется отношению числа возможных результатов испытания, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов испытания.