Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.

10.1. Краткая теоретическая часть

Математическое ожидание и дисперсияслучайной величины X, имеющей плотность вероятности, вычисляются по формулам

,

.

Математические ожидания и дисперсии непрерывных случайных величин обладают такими же свойствами, что и аналогичные вероятностные характеристики дискретных случайных величин. Среднее квадратическое отклонение определяется формулой

.

Для симметричного закона распределения характеристикой рассеивания случайной величины может служить срединное отклонение Е, определяемое из условия

.

Начальный момент k-ro порядка m_k и центральный момент k-ro порядка вычисляются по формулам

,

Для существования моментов нечетного порядка необходима абсолютная сходимость соответствующих интегралов.

10.2. Тест

1. Выберите те из следующих предложений, которые являются верными. Математическое ожидание и дисперсия непрерывных случайных величин…

а) являются вероятностными характеристиками, не имеющими ничего общего с аналогичными характеристиками дискретных случайных величин

б) обладают такими же свойствами, что и аналогичные вероятностные характеристики дискретных случайных величин

в) как и в случае дискретных случайных величин, определяют положение реализации случайной величины на числовой прямой и рассеянье случайной величины соответственно

2. Математическое ожидание и дисперсиянепрерывнойслучайной величины X, имеющей плотность вероятности, вычисляются по формулам

а)

б) ,

.

в)

г)

3. Начальный и центральныймоменты-го порядка – это числовые характеристики

а) дискретных случайных величин

б) непрерывных случайных величин

в) и дискретных, и непрерывных случайных величин

3. Начальный и центральныймоменты-го порядка непрерывной случайной величины определяются формулами:

а)

,

где - математическое ожидание,- возможные значения случайной величины,- соответствующие им вероятности,- математическое ожидание

б)

,

где - математическое ожидание,- возможные значения случайной величины,- соответствующие им вероятности,- математическое ожидание

в)

,

где - математическое ожидание случайной величины,- плотность вероятности случайной величины

г)

,

где - математическое ожидание случайной величины , - плотность вероятности случайной величины

10.3. Решение типовых задач

Пример 10.1. Плотность вероятности случайных амплитуд боковой качки корабля имеет вид (закон Рэлея)

.

Определить:

а) математическое ожидание М[X];

б) дисперсию D[Х] и среднее квадратическое отклонение ;

в) центральные моменты третьего и четвертого порядков и.

Решение.

Вычисление моментов сводится к вычислению интегралов вида

целое),

которые равны: при n четном

,

где

,

и при n нечетном

.

Математическое ожидание случайной амплитуды боковой качки равно

.

Произведя замену переменных , получим

.

б) Так как

, то

.

в) ,

где .

Следовательно,

,

, где

Следовательно, .

Пример 10.2. Найти срединное отклонение случайной величины, плотность вероятности которой имеет вид (распределение Лапласа)

.

Решение.

Так как плотность вероятности симметрична относительно нуля, то . Срединное отклонениеЕ вычисляется по формуле

.

Отсюда .