- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 90
- •1. Теоретическая часть. Введение
- •Раздел 1. Понятие события и его вероятности.
- •1.1. Предмет теории вероятности.
- •1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.
- •1.3. Классическое определение вероятности.
- •1.4. Геометрические вероятности.
- •1.5. Частота и вероятность.
- •1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы.
- •1.8. Формула полной вероятности.
- •1.9 Формула Бейеса.
- •Раздел 2. Последовательные независимые испытания
- •2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли.
- •2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
- •Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства.
- •3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
- •3.2. Свойства функции распределения.
- •3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •3.4. Числовые характеристики случайных величин.
- •Раздел 4. Примеры распределений случайных величин.
- •4.1. Биномиальное распределение.
- •4.2. Теорема Пуассона
- •4.3. Закон Пуассона.
- •4.4. Равномерное распределение.
- •4.5. Показательное распределение.
- •4.6.Нормальный закон распределения.
- •Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы).
- •5.1. Понятие о системе случайных величин.
- •5.2. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.
- •5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.
- •5.5. Зависимые и независимые случайные величины.
- •5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора).
- •5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.
- •6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
- •6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
- •6.4. Распределение произведения.
- •6.5. Распределение квадрата случайной величины.
- •6.6. Распределение частного.
- •6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
- •Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.
- •7.1. Основные теоремы о математическом ожидании.
- •7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.
- •7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.
- •Раздел 8. Характеристические функции.
- •8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
- •8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
- •Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.
- •9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
- •9.2. Закон больших чисел.
- •9.3. Следствия закона больших чисел.
- •Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •10.1. Центральная предельная теорема.
- •10.2. Теорема Ляпунова.
- •10.3. Теорема Лапласа.
- •2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.
- •1.1. Краткая теоретическая часть.
- •1.2. Тест.
- •1.3. Решение типовых задач.
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.
- •2.1. Краткая теоретическая часть.
- •2.2. Тест
- •2.3. Решение типовых задач
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1. Краткая теоретическая часть
- •3.2. Тест
- •3.3. Решение типовых задач
- •3.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.
- •4.1. Краткая теоретическая часть
- •4.2. Тест
- •4.3. Решение типовых задач
- •4.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 5. Формула полной вероятности.
- •5.1. Краткая теоретическая часть
- •5.2. Тест.
- •5.3. Решение типовых задач
- •5.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 6. Формула Бейеса.
- •6.1. Краткая теоретическая часть
- •6.2.Тест
- •6.3. Решение типовых задач
- •6.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 7. Последовательные независимые испытания.
- •7.1. Краткая теоретическая часть
- •7.2. Тест
- •7.3. Решение типовых задач
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •8.1. Краткая теоретическая часть а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •8.2. Тест
- •А) только к дискретным случайным величинам
- •8.3. Решение типовых задач а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •9.1. Краткая теоретическая часть
- •9.2. Тест
- •9.3. Решение типовых задач
- •9.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •10.1. Краткая теоретическая часть
- •10.2. Тест
- •10.3. Решение типовых задач
- •10.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 11. Закон Пуассона.
- •11.1. Краткая теоретическая часть
- •11.2. Тест
- •11.3. Решение типовых задач
- •11.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 12. Закон нормального распределения.
- •12.1. Краткая теоретическая часть
- •12.2. Тест
- •12.3. Решение типовых задач
- •12.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Литература
7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.
Теорема 6. Неслучайную величину можно выносить за знак дисперсии, возводя ее в квадрат.
Если с — неслучайная величина, а X — случайная, то
|
(7.2.1) |
Доказательство. По определению дисперсии
|
|
Следствие
|
(7.2.2) |
т. е. неслучайную величину можно выносить за знак среднеквадратического отклонения ее абсолютным значением. Доказательство получим, извлекая корень квадратный из формулы (7.2.1) и учитывая, что среднеквадратическое положительная величина.
Теорема 7. Дисперсия неслучайной величины равна нулю
Если с — неслучайная величина, то
, тогда
|
(7.2.3) |
Теорема 8.Дисперсия суммы двух случайных величин равна сумме их дисперсий плюс удвоенный корреляционный момент:
|
(7.2.4) |
Доказательство. Обозначим
|
(7.2.5) |
По теореме сложения математических ожиданий
|
(7.2.6) |
Перейдем от случайных величин X,Y,Z к соответствующим центрированным величинам X,Y,Z. Вычитая почленно из равенства (7.2.5) равенство (7.2.6), имеем:
|
|
По определению дисперсии
|
|
что и требовалось доказать.
Формула (7.2.4) для дисперсии суммы может быть обобщена на любое число слагаемых:
|
(7.2.7) |
где Кij — корреляционный момент величин Xi , Xj, знак i<j под суммой обозначает, что суммирование распространяется на все возможные попарные сочетания случайных величин (X1 ,Х2.....,Хn).
Доказательство аналогично предыдущему и вытекает из формулы для квадрата многочлена.
Формула (7.2.7) может быть записана еще в другом виде:
|
(7.2.8) |
где двойная сумма распространяется на все элементы корреляционной матрицы системы величин (Х1,Х2,....Хn), содержащей как корреляционные моменты, так и дисперсии.
Если все случайные величины (Х1,Х2,...,Хп), входящие в систему, некоррелированы (т. е. Кij = 0 при ij). формула (7.2.7) принимает вид:
|
(7.2.9) |
т.е. дисперсия суммы некоррелированных случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых.
Это положение известно под названием теоремы сложения дисперсий.
Теорема 9. Дисперсия линейной конбинации случайных величин определяется соотношением
|
(7.2.10) |
где Кij— корреляционный момент величин Xi, Xj.
Доказательство. Введем обозначение:
|
|
Тогда
|
(7.2.11) |
Применяя к правой части выражения (7.2.11) формулу (7.2.7) для дисперсии суммы и учитывая, что D[b] = 0, получим:
|
(7.2.12) |
где — корреляционный момент величинYi, Yj.
|
|
Вычислим этот момент. Имеем:
|
|
аналогично
|
|
Отсюда
|
|
Подставляя это выражение в (7.2.12), приходим к формуле (7.2.10).
В частном случае, когда все величины (Х1,Х2,...,Хn) некоррелированные, формула (7.2.10) принимает вид:
|
(7.2.13) |
т.е. дисперсия линейной функции некоррелированных случайных величин равна сумме произведений квадратов коэффициентов на дисперсии соответствующих аргументов).
Теорема 10. Дисперсия произведения независимых случайных величин определяется соотношением
|
(7.2.14) |
Доказательство. Обозначим XY=Z. По определению дисперсии
|
|
Так как величины X, Y независимы, mz = mxmy и
|
|
При независимых X, У величины Х2, Y2 тоже независимы следовательно,
|
|
и
|
(7.2.15) |
Но М[X2] есть не что иное, как второй начальный момент величины X, и, следовательно, выражается через дисперсию:
|
(7.2.16) |
аналогично
|
(7.2.17) |
Подставляя выражения (7.2.16) и (7.2.17) в формулу (7.2.15) и приводя подобные члены, приходим к формуле (7.2.14).
В случае, когда перемножаются центрированные случайные величины (величины с математическими ожиданиями, равными нулю), формула (7.2.14) принимает вид:
|
(7.2.18) |
т.е. дисперсия произведения независимых центрированных случайных величин равна произведению их дисперсий.