2.4. Задачи для самостоятельной работы
2.1. В точке С, положение которой на телефонной линии АВ длины L равновозможно, произошел разрыв. Определить вероятность того, что точка С удалена от точки A на расстояние, не меньшее l.
(Ответ:
p =
)
2.2. На плоскости проведены параллельные линии, расстояния между которыми попеременно равны 1,5 и 8 см. Определить вероятность того, что наудачу брошенный на эту плоскость круг радиуса 2,5 см не будет пересечен ни одной линией.
(Ответ:
p =
=
0.316)
2.3. В круге радиуса R проводятся хорды параллельно заданному направлению. Какова вероятность того, что длина наугад взятой хорды не более R, если равновозможны любые положения точек пересечения хорды с диаметром, перпендикулярным выбранному направлению?
(Ответ: p = 0.134)
2.4. Перед вращающимся с постоянной скоростью диском находится отрезок длиной 2h, расположенный в плоскости диска таким образом, что прямая, соединяющая середину отрезка с центром диска перпендикулярна отрезку. По касательной к окружности в произвольный момент времени слетает частица. Определить вероятность попадания этой частицы на отрезок, если расстояние между отрезком и центром диска равно l.
(Ответ:
p =
)
2.5. Прямоугольная решетка состоит из цилиндрических прутьев радиуса r. Расстояния между осями прутьев равны соответственно a и b. Определить вероятность попадания шариком диаметра d в решетку при одном бросании без прицеливания, если траектория полета шарика перпендикулярна плоскости решетки.
(Ответ:
p =
)
2.6. Начерчены пять концентрических окружностей, радиусы которых равны соответственно kr (k=1, 2, 3, 4, 5). Круг радиуса r и два кольца с внешними радиусами 3r и 5r заштрихованы. В круге радиуса 5r наудачу выбрана точка. Определить вероятность попадания этой точки:
а) в круг радиуса 2r;
б) в заштрихованную область.
(Ответ: а) p = 0,16; б) p = 0.6 )
2.7. Лодка перевозит груз с одного берега пролива на другой, пересекая пролив за один час. Какова вероятность того, что идущее вдоль пролива судно будет замечено, если с лодки обнаруживают судно в случае, когда пересекают его курс не ранее, чем за 20 мин. до пересечения судком курса лодки, и не позднее, чем через 20 мин. после пересечения судном курса лодки? Любой момент и любое место пересечения судном курса лодки равновозможны. Курс судна перпендикулярен курсу лодки.
(Ответ:
p =
)
2.8. На отрезке
длиной l
наудачу
выбраны две точки. Какова вероятность,
что расстояние между ними меньше kl,
где
?
(Ответ: p = k(2-k) )
2.9. На отрезкеАВ длинойl наудачу поставлены две точкиL иМ. Найти вероятность того, что точкаL будет ближе к точкеМ, чем к точкеА.
(Ответ: p = 0.75)
2.10. На отрезке длинойl наудачу ставятся две точки, в результате чего этот отрезок оказывается разделенным на три части. Определить вероятность того, что из трех получившихся частей отрезка можно построить треугольник.
(Ответ:
p =
)
2.11. Два парохода должны подойти к одному и тому же причалу. Время прихода обоих пароходов независимо и равновозможно в течение данных суток. Определить вероятность того, что одному из пароходов придется ожидать освобождения причала, если время стоянки первого парохода один час, а второго — два часа.
(Ответ: p = 0,121)
2.12 Два лица имеют одинаковую вероятность прийти к указанному месту в любой момент промежутка времени Т. Определить вероятность того, что время ожидания одним другого будет не больше t.
(Ответ:
p =
)
2.13. Два судна в
тумане: одно идет вдоль пролива шириной
L,
а другое курсирует без остановок поперек
этого пролива перпендикулярно курсу
первого. Скорости движения судов
соответственно равны
и
.
Второе судно подает звуковые сигналы,
которые слышны на расстоянииd
< L. Определить
вероятность того, что на первом судне
услышат сигналы, если пересечение курсов
судов равновозможно в любом месте
пролива.
(Ответ:
p =
)
2.14. Стержень длиной l=200мм наудачу ломается на части. Определить вероятность того, что хотя бы одна часть стержня между точками излома будет не более 10 мм, если точек излома
а) две;
б) три, причем излом стержня равновозможен в любом месте.
(Ответ:
а) p
=
;
б) p =
).