- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 90
- •1. Теоретическая часть. Введение
- •Раздел 1. Понятие события и его вероятности.
- •1.1. Предмет теории вероятности.
- •1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.
- •1.3. Классическое определение вероятности.
- •1.4. Геометрические вероятности.
- •1.5. Частота и вероятность.
- •1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы.
- •1.8. Формула полной вероятности.
- •1.9 Формула Бейеса.
- •Раздел 2. Последовательные независимые испытания
- •2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли.
- •2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
- •Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства.
- •3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
- •3.2. Свойства функции распределения.
- •3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •3.4. Числовые характеристики случайных величин.
- •Раздел 4. Примеры распределений случайных величин.
- •4.1. Биномиальное распределение.
- •4.2. Теорема Пуассона
- •4.3. Закон Пуассона.
- •4.4. Равномерное распределение.
- •4.5. Показательное распределение.
- •4.6.Нормальный закон распределения.
- •Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы).
- •5.1. Понятие о системе случайных величин.
- •5.2. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.
- •5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.
- •5.5. Зависимые и независимые случайные величины.
- •5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора).
- •5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.
- •6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
- •6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
- •6.4. Распределение произведения.
- •6.5. Распределение квадрата случайной величины.
- •6.6. Распределение частного.
- •6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
- •Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.
- •7.1. Основные теоремы о математическом ожидании.
- •7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.
- •7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.
- •Раздел 8. Характеристические функции.
- •8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
- •8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
- •Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.
- •9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
- •9.2. Закон больших чисел.
- •9.3. Следствия закона больших чисел.
- •Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •10.1. Центральная предельная теорема.
- •10.2. Теорема Ляпунова.
- •10.3. Теорема Лапласа.
- •2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.
- •1.1. Краткая теоретическая часть.
- •1.2. Тест.
- •1.3. Решение типовых задач.
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.
- •2.1. Краткая теоретическая часть.
- •2.2. Тест
- •2.3. Решение типовых задач
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1. Краткая теоретическая часть
- •3.2. Тест
- •3.3. Решение типовых задач
- •3.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.
- •4.1. Краткая теоретическая часть
- •4.2. Тест
- •4.3. Решение типовых задач
- •4.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 5. Формула полной вероятности.
- •5.1. Краткая теоретическая часть
- •5.2. Тест.
- •5.3. Решение типовых задач
- •5.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 6. Формула Бейеса.
- •6.1. Краткая теоретическая часть
- •6.2.Тест
- •6.3. Решение типовых задач
- •6.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 7. Последовательные независимые испытания.
- •7.1. Краткая теоретическая часть
- •7.2. Тест
- •7.3. Решение типовых задач
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •8.1. Краткая теоретическая часть а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •8.2. Тест
- •А) только к дискретным случайным величинам
- •8.3. Решение типовых задач а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •9.1. Краткая теоретическая часть
- •9.2. Тест
- •9.3. Решение типовых задач
- •9.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •10.1. Краткая теоретическая часть
- •10.2. Тест
- •10.3. Решение типовых задач
- •10.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 11. Закон Пуассона.
- •11.1. Краткая теоретическая часть
- •11.2. Тест
- •11.3. Решение типовых задач
- •11.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 12. Закон нормального распределения.
- •12.1. Краткая теоретическая часть
- •12.2. Тест
- •12.3. Решение типовых задач
- •12.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Литература
Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.
7.1. Основные теоремы о математическом ожидании.
Мы изложим ряд теорем о числовых характеристиках случайных величин, применимый в широком круге условий.
Теорема 1. Математическое ожидание неслучайной величины равно самой величине
|
(7.1.1) |
Доказать условие (7.1.1) можно, рассматривая неслучайную величину с как частный вид случайной, при одном возможном значении с вероятностью единица; тогда по общей формуле для математического ожидания:
|
|
Теорема 2. Неслучайную величину можно выносить за знак математического ожидания
Если с — неслучайная величина, а X — случайная, то
|
(7.1.2) |
Доказательство.
а) Для дискретных случайных величин имеем:
|
|
6) Для непрерывных величин
|
|
Теорема 3. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Докажем, что для любых двух случайных величин X и Y
|
(7.1.3) |
Это свойство известно под названием теоремы сложения математических ожиданий.
Доказательство.
а) Пусть (X,Y)— система дискретных случайных величин. Применим к сумме случайных величин общую формулу для математического ожидания функции двух аргументов:
|
|
Но представляет собой не что иное, как полную вероятность того, что величинаX примет значение xi:
|
|
следовательно,
|
|
Аналогично докажем, что
|
|
и теорема доказана.
б) Пусть (X,Y)— система непрерывных случайных величин.
|
(7.1.4) |
Преобразуем первый из интегралов (7.1.4):
|
|
аналогично
|
|
и теорема доказана.
Следует специально отметить, что теорема сложения математических ожиданий справедлива для любых случайных величин — как зависимых, так и независимых.
Теорема сложения математических ожиданий обобщается на произвольное число слагаемых:
|
(7.1.5) |
т. е. математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме их математических ожиданий.
Для доказательства достаточно применить метод полной индукции.
Теорема 4. Математическое ожидание линейной комбинации случайных величин равно той же линейной комбинации от математических ожиданий аргументов.
Рассмотрим линейную комбинации нескольких случайных аргументов Х1, X2,...,Xn:
|
(7.1.6) |
где ai ,b — неслучайные коэффициенты. Докажем, что
|
(7.1.7) |
Доказательство. Пользуясь теоремой сложения математических ожиданий и правилом вынесения неслучайной величины за знак математического ожидания, получим:
|
(7.1.8) |
Теорема 5. Математическое ожидание произведения двух случайных величин равно произведению их математических ожиданий плюс корреляционный момент:
|
(7.1.9) |
Доказательство. Будем исходить из определения корреляционного момента:
|
(7.1.10) |
Здесь
Преобразуем это выражение, пользуясь свойствами математического ожидания:
|
|
что, очевидно, равносильно формуле (7.1.9). Если случайные величины (X, Y) некоррелированные (Kxy=0), то формула (7.1.10) принимает вид:
|
(7.1.11) |
т.е. математическое ожидание произведения двух некоррелированных случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Формула (7.1.10) представляет собой не что иное, как выражение второго смешанного центрального момента системы через второй смешанный начальный момент и математические ожидания:
|
(7.1.12) |
Это выражение часто применяется на практике при вычислении корреляционного момента.
Теорема умножения математических ожиданий обобщается и на произвольное число сомножителей для независимых случайных величин и имеет вид:
|
(7.1.13) |
т.е. математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Это положение легко доказывается методом полной индукции.