- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 90
- •1. Теоретическая часть. Введение
- •Раздел 1. Понятие события и его вероятности.
- •1.1. Предмет теории вероятности.
- •1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.
- •1.3. Классическое определение вероятности.
- •1.4. Геометрические вероятности.
- •1.5. Частота и вероятность.
- •1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы.
- •1.8. Формула полной вероятности.
- •1.9 Формула Бейеса.
- •Раздел 2. Последовательные независимые испытания
- •2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли.
- •2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
- •Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства.
- •3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
- •3.2. Свойства функции распределения.
- •3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •3.4. Числовые характеристики случайных величин.
- •Раздел 4. Примеры распределений случайных величин.
- •4.1. Биномиальное распределение.
- •4.2. Теорема Пуассона
- •4.3. Закон Пуассона.
- •4.4. Равномерное распределение.
- •4.5. Показательное распределение.
- •4.6.Нормальный закон распределения.
- •Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы).
- •5.1. Понятие о системе случайных величин.
- •5.2. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.
- •5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.
- •5.5. Зависимые и независимые случайные величины.
- •5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора).
- •5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.
- •6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
- •6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
- •6.4. Распределение произведения.
- •6.5. Распределение квадрата случайной величины.
- •6.6. Распределение частного.
- •6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
- •Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.
- •7.1. Основные теоремы о математическом ожидании.
- •7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.
- •7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.
- •Раздел 8. Характеристические функции.
- •8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
- •8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
- •Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.
- •9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
- •9.2. Закон больших чисел.
- •9.3. Следствия закона больших чисел.
- •Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •10.1. Центральная предельная теорема.
- •10.2. Теорема Ляпунова.
- •10.3. Теорема Лапласа.
- •2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.
- •1.1. Краткая теоретическая часть.
- •1.2. Тест.
- •1.3. Решение типовых задач.
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.
- •2.1. Краткая теоретическая часть.
- •2.2. Тест
- •2.3. Решение типовых задач
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1. Краткая теоретическая часть
- •3.2. Тест
- •3.3. Решение типовых задач
- •3.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.
- •4.1. Краткая теоретическая часть
- •4.2. Тест
- •4.3. Решение типовых задач
- •4.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 5. Формула полной вероятности.
- •5.1. Краткая теоретическая часть
- •5.2. Тест.
- •5.3. Решение типовых задач
- •5.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 6. Формула Бейеса.
- •6.1. Краткая теоретическая часть
- •6.2.Тест
- •6.3. Решение типовых задач
- •6.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 7. Последовательные независимые испытания.
- •7.1. Краткая теоретическая часть
- •7.2. Тест
- •7.3. Решение типовых задач
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •8.1. Краткая теоретическая часть а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •8.2. Тест
- •А) только к дискретным случайным величинам
- •8.3. Решение типовых задач а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •9.1. Краткая теоретическая часть
- •9.2. Тест
- •9.3. Решение типовых задач
- •9.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •10.1. Краткая теоретическая часть
- •10.2. Тест
- •10.3. Решение типовых задач
- •10.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 11. Закон Пуассона.
- •11.1. Краткая теоретическая часть
- •11.2. Тест
- •11.3. Решение типовых задач
- •11.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 12. Закон нормального распределения.
- •12.1. Краткая теоретическая часть
- •12.2. Тест
- •12.3. Решение типовых задач
- •12.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Литература
1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.
Прежде чем перейти к классическому определению понятия вероятности, мы сделаем несколько предварительных замечаний. Будем считать фиксированным комплекс условий и станем рассматривать некоторую систему F событий А,В,С,… каждое из которых может произойти или не произойти при каждом осуществлении комплекса условий. Между событиями системы F могут существовать известные соотношения, с которыми мы постоянно будем иметь дело и которые поэтому прежде всего изучим.
1) Если при каждом осуществлении комплекса условий, при котором происходит событие А, происходит и событие В, то будем говорить, что А влечет за собой В, и обозначать это обстоятельство символом .
2) Если А влечет за собой В и в то же время В влечет за собой А, т. е. если при каждой реализации комплекса условий события А и В оба наступают или оба не наступают, то будем говорить, что события А и В равносильны, и будем обозначать это обстоятельство символом А=В.
Заметим, что во всех исследованиях теории вероятностей равносильные между собой события могут заменять друг друга. Поэтому условимся в дальнейшем любые два равносильных события считать просто тождественными друг другу.
3) Событие, состоящее в наступлении обоих событий А и В, называется произведением событий A и В и обозначается символом АВ (или А∩В).
4) Событие, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий А и В, будем называть суммой событий А и В и обозначать символом A+B (или AВ).
5) Событие, состоящее в том, что событие А происходит, а событие В не происходит, называется разностью событий А и В и обозначается символом А—В.
6) Два события А и называются противоположными, если для них одновременно выполняются два соотношения:
|
|
Например, если при бросании одной игральной кости С обозначает выпадение четного числа очков, то
|
|
есть событие, состоящее в выпадении нечетного числа очков.
Проиллюстрируем введенные понятия на простейших примерах. Первый из них представляет собой так называемую диаграмму Вьенна.
Пусть комплекс условий состоит в том, что внутри квадрата, изображенного на рис. 1.2.1 выбирается наудачу точка. Обозначим через А событие «выбранная точка лежит внутри левой окружности» и через В событие «выбранная точка лежит внутри правой окружности». Тогда события А,,В,,, состоят в попадании выбранной точки внутрь областей, заштрихованных на соответствующих фигурах рис. 1.2.1.
Рассмотрим другой пример. Допустим, что комплекс условий состоит в том, что на стол бросается (один раз) игральная кость.
Рис. 1.2.1.
Обозначим через А выпадение на верхней грани кости шести очков, через В—выпадение трех очков, через С—выпадение какого-либо четного числа очков, через D—выпадение какого-либо числа очков, кратного трем. Тогда события А,В,С и D связаны следующими соотношениями:
|
|
Определение суммы и произведения двух событий обобщается на любое число событий и обозначает событие, заключающееся в наступлении хотя бы одного из событий и обозначает событие, заключающееся в наступлении всех событий А,В,..,D.
Очевидно, что все достоверные события равносильны между собой. Поэтому законно обозначать все достоверные события одной буквой. Мы будем употреблять для этого букву U. Все невозможные события тоже равносильны между собой. Мы будем обозначать любое невозможное событие буквой V.
7) Два события А и В называются несовместимыми, если их совместное появление невозможно, т. е. если
|
|
Если и событияпопарно несовместимы, т. е. , то говорят, что событиеА подразделяется на частные случаи . Например, при бросании игральной кости событие С, состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на частные случаи , состоящие соответственно в выпадении 2, 4 и 6 очков.
События образуютполную группу событий, если хотя бы одно из них непременно должно произойти (при каждом осуществлении комплекса), т. е. .
Особенно существенны для нас в дальнейшем будут полные группы попарно несовместимых событий. Такова, например, при однократном бросании игральной кости система событий состоящая соответственно в появлении 1, 2, 3, 4, 5 и 6 очков.
8) В каждой задаче теории вероятностей приходится иметь дело с каким-либо определенным комплексом условий и с какой-либо определенной системой F событий. Относительно этой системы целесообразно сделать следующие допущения:
а) если системе F принадлежат события А и В, то ей принадлежат также события и т.д.
б) система F содержит достоверное и невозможное события.
Система событий, удовлетворяющая этим допущениям, называется полем событий.
В рассмотренных нами иллюстративных примерах всегда было можно выделить такие события, которые не могли быть разложены на более простые: выпадение определенной грани при бросании игральной точки; попадание в определенную точку квадрата при рассмотрении диаграммы Вьенна. Условимся называть такие неразложимые события элементарными событиями.
При построении математической теории вероятностей наши интуитивные представления требуют большей формализации, чем та с которой мы имели дело до сих пор. В современном изложении теории вероятностей исходят из множества элементарных событий или, как теперь принято говорить, пространства элементарных событий. Природа элементов этого пространства заранее не оговаривается, поскольку важно иметь достаточно широкий выбор для охвата всех возможных случаев. В частности, элементами пространства могут быть точки евклидова пространства, функции одного или нескольких переменных и т. д. Множества точек пространства элементарных событий образуют случайные события. Событие, состоящее из всех точек пространства элементарных событий, называется достоверным событием. Все, что мы говорили о соотношениях между случайными событиями в настоящем параграфе, сохраняет силу и для формального построения теории. Сейчас мы ограничимся указанием на то что для случайных событий имеют место следующие законы:
коммутативный
ассоциативный
дистрибутивный
тождества
Доказательство этих законов мы предоставим читателю. Для лиц, знакомых с элементами теории множеств, его проведение не составит труда.