8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.

Важнейшими с точки зрения приложений характеристических функций к выводу асимптотических формул теории вероятностей являются две предельные теоремы — прямая и обратная. Эти теоремы устанавливают, что соответствие, существующее между функциями распределения и характеристическими функциями, не только взаимно однозначно, но и непрерывно. Формулировки теорем приведем без доказательства.

Прямая предельная теорема. Если последовательность функций распределения

сходится в основном к функции распределения F(х), то последовательность характеристических функций

сходится к характеристической функции q_x(t). Эта сходимость равномерна в каждом конечном интервале t.

Обратная предельная теорема. Если последовательность характеристических функций

сходится к непрерывной функции q_x(t), то последовательность функций распределения

сходится в основном к некоторой функции распределения F(x).

Заметим, что условия теоремы выполнены в каждом из двух следующих случаев:

1) Последовательность характеристических функций сходится к некоторой функцииq_x(t) равномерно в каждом конечном интервале t.

2) Последовательность характеристических функций сходится к характеристической функцииq_x(t).

Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.

В курсе теории вероятностей указывалось, что математические законы теории вероятностей получены абстрагированием реальных статистических закономерностей, свойственных массовым случайным явлениям. Свойство устойчивости массовых случайных явлений известно человечеству еще с глубокой древности. Именно эта устойчивость средних и представляет собой физическое содержание «закона больших чисел», понимаемого в широком смысле слова: при очень большом числе случайных явлений средний их результат практически перестает быть случайным и может быть предсказан с большой степенью определенности.

Закон больших чисел играет важную роль в практических применениях теории вероятностей. Свойство случайных величин при определенных условиях вести себя практически как не случайные позволяет уверенно оперировать с этими величинами, предсказывать результаты массовых случайных явлений почти с полной определенностью.

Возможности таких предсказаний в области массовых случайных явлений еще больше расширяются наличием другой группы предельных теорем, касающихся уже не предельных значений случайных величин, а предельных законов распределения. Речь идет о группе теорем, известных под названием «центральной предельной теоремы». Мы уже говорили о том, что при суммировании достаточно большого числа случайных величин закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному при соблюдении некоторых условий.

Различные формы закона больших чисел вместе с различными формами центральной предельной теоремы образуют совокупность так называемых предельных теорем теории вероятностей. Прежде чем рассматривать предельные теоремы теории вероятностей рассмотрим виды сходимости после последовательностей случайных величин, так как сходимость для случайных величин отлична от сходимостей простых числовых последовательностей.