- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 90
- •1. Теоретическая часть. Введение
- •Раздел 1. Понятие события и его вероятности.
- •1.1. Предмет теории вероятности.
- •1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.
- •1.3. Классическое определение вероятности.
- •1.4. Геометрические вероятности.
- •1.5. Частота и вероятность.
- •1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы.
- •1.8. Формула полной вероятности.
- •1.9 Формула Бейеса.
- •Раздел 2. Последовательные независимые испытания
- •2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли.
- •2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
- •Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства.
- •3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
- •3.2. Свойства функции распределения.
- •3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •3.4. Числовые характеристики случайных величин.
- •Раздел 4. Примеры распределений случайных величин.
- •4.1. Биномиальное распределение.
- •4.2. Теорема Пуассона
- •4.3. Закон Пуассона.
- •4.4. Равномерное распределение.
- •4.5. Показательное распределение.
- •4.6.Нормальный закон распределения.
- •Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы).
- •5.1. Понятие о системе случайных величин.
- •5.2. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.
- •5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.
- •5.5. Зависимые и независимые случайные величины.
- •5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора).
- •5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.
- •6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
- •6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
- •6.4. Распределение произведения.
- •6.5. Распределение квадрата случайной величины.
- •6.6. Распределение частного.
- •6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
- •Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.
- •7.1. Основные теоремы о математическом ожидании.
- •7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.
- •7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.
- •Раздел 8. Характеристические функции.
- •8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
- •8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
- •Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.
- •9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
- •9.2. Закон больших чисел.
- •9.3. Следствия закона больших чисел.
- •Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •10.1. Центральная предельная теорема.
- •10.2. Теорема Ляпунова.
- •10.3. Теорема Лапласа.
- •2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.
- •1.1. Краткая теоретическая часть.
- •1.2. Тест.
- •1.3. Решение типовых задач.
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.
- •2.1. Краткая теоретическая часть.
- •2.2. Тест
- •2.3. Решение типовых задач
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1. Краткая теоретическая часть
- •3.2. Тест
- •3.3. Решение типовых задач
- •3.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.
- •4.1. Краткая теоретическая часть
- •4.2. Тест
- •4.3. Решение типовых задач
- •4.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 5. Формула полной вероятности.
- •5.1. Краткая теоретическая часть
- •5.2. Тест.
- •5.3. Решение типовых задач
- •5.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 6. Формула Бейеса.
- •6.1. Краткая теоретическая часть
- •6.2.Тест
- •6.3. Решение типовых задач
- •6.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 7. Последовательные независимые испытания.
- •7.1. Краткая теоретическая часть
- •7.2. Тест
- •7.3. Решение типовых задач
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •8.1. Краткая теоретическая часть а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •8.2. Тест
- •А) только к дискретным случайным величинам
- •8.3. Решение типовых задач а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •9.1. Краткая теоретическая часть
- •9.2. Тест
- •9.3. Решение типовых задач
- •9.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •10.1. Краткая теоретическая часть
- •10.2. Тест
- •10.3. Решение типовых задач
- •10.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 11. Закон Пуассона.
- •11.1. Краткая теоретическая часть
- •11.2. Тест
- •11.3. Решение типовых задач
- •11.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 12. Закон нормального распределения.
- •12.1. Краткая теоретическая часть
- •12.2. Тест
- •12.3. Решение типовых задач
- •12.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Литература
1.3. Классическое определение вероятности.
Классическое определение вероятности сводит понятие вероятности к понятию равновероятности (равновозможности) событий, которое считается основным и не подлежит формальному определению. Для примера: при бросании кубика, который имеет точную форму куба и изготовлен из вполне однородного материала, равновероятными событиями будут выпадения какого-нибудь определенного числа очков (1,2,3,4,5,6), обозначенного на гранях этого куба, поскольку в силу наличия симметрии ни одна из граней не имеет объективного преимущества перед другими.
В общем случае рассмотрим какую-либо группу G, состоящую из n попарно несовместимых равновозможных событий (назовем их элементарными событиями): .
Образуем теперь систему F, состоящую из невозможного события V, всех событий Ek группы G и всех событий А,B,С… которые могут быть подразделены на частные случаи, входящие в состав группы G.
Например, если группа G состоит из трех событий , то в системуF входят события V, E1,E2,E3,E1+E2, E2+E3, E1+E3,U=E1+E2+E3. и т.д.
Легко установить, что система F есть поле событий, в самом деле, очевидно, что сумма, разность и произведение событий из F входят в F; невозможное событие V входит в F по определению, а достоверное событие U входит в F, так как оно представляется в виде
|
|
Классическое определение вероятности дается для событий системы F и может быть сформулировано так:
Определение 1. Если событие А подразделяется на т частных случаев, входящих в полную группу из n попарно несовместимых и равновозможных событий, то вероятность Р(A) события А равна
|
(1.3.1) |
Например, при однократном бросании игральной кости полная группа попарно несовместимых и равновероятных событий состоит из событий , которые состоят соответственно в выпадении 1,2,3,4,5,6 очков. Событие, состоящее в выпадении четного числа очков, подразделяется на три частных случая, входящих в состав полной группы несовместимых и равновероятных событий. Поэтому вероятность событияС равна .
Очевидно также, что в силу принятого определения
и т. д.
В теории вероятностей широко используется следующая терминология, к которой мы часто впоследствии будем обращаться. Представим себе, что для выяснения вопроса, произойдет или не произойдет событие А (например, выпадение числа очков, кратного трем), необходимо произвести некоторое испытание (т. е. осуществить комплекс условий), которое дало бы ответ на поставленный вопрос (в нашем примере требуется бросить игральную кость). Полная группа попарно несовместимых и равновероятных событий, которые могут произойти при таком испытании, называется полной группой возможных результатов испытания. Те из возможных результатов испытания, на которые подразделяется событие А, называются результатами испытания благоприятствующими А. Пользуясь этой терминологией, можно сказать, что вероятность Р(A) события А равняется отношению числа возможных результатов испытания, благоприятствующих событию А, к числу всех возможных результатов испытания.
В соответствии с приведенным определением каждому событию A, принадлежащему построенному сейчас полю событий F, приписывается вполне определенная вероятность
|
|
где m есть число тех событий Ei исходной группы G, которые являются частными случаями события A. Таким образом, вероятность Р(A) можно рассматривать как функцию от события А, определенную на поле событий F.
Вероятность P(A) обладает следующими свойствами:
1. Для каждого события А поля F
|
(1.3.2) |
2. Для достоверного события U
|
(1.3.3) |
3. Если событие А подразделяется на частные случаи В и С и все три, события. А, В и С принадлежат полю F, то
|
(1.3.4) |
Это свойство называется теоремой сложения вероятностей. Свойство 1 очевидно, так как дробь — не может быть отрицательной. Свойство 2 не менее очевидно, так как достоверному событию U благоприятствуют все п возможных результатов испытания, и поэтому .
Докажем свойство 3. Пусть событию В благоприятствуют m', а событию С соответственно m" событий Еi группы G. Так как события В и С по допущению несовместимы, то события Еi, благоприятствующие одному из них, отличны от событий Еi, благоприятствующих другому. Всего, таким образом, имеется m'+m" событий Еi, благоприятствующих появлению одного из событий В или С, т. е. благоприятствующих событию В+С=А. Следовательно,
|
|
что и требовалось доказать.
Ограничимся здесь указанием еще нескольких свойств вероятности.
4. Вероятность события, противоположного событиюA, равна
|
|
Действительно, так как А + =U, то согласно уже доказанному свойству 2
|
|
а так как события А и несовместимы, то по свойству 3
|
|
Два последних равенства доказывают наше предложение.
5. Вероятность невозможного события равна нулю.
В самом деле, события U и V несовместимы, поэтому
|
|
откуда следует, что.
6. Если событие А влечет за собой событие В, то
|
|
Действительно, событие В может быть представлено как сумма двух событий A и . Отсюда в силу свойств 3 и 1 получаем:
|
|
7. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей.
Из того, что для любого события A имеют место соотношения
|
|
следует в силу предыдущего свойства, что имеют место неравенства
|
|
что и требовалось доказать.
Рассмотрим несколько примеров вычисления вероятностей событий, пользуясь классическим определением вероятности. Приводимые примеры носят исключительно иллюстративный характер и не претендуют на то, чтобы сообщить читателю все основные методы расчета вероятностей.
Пример 1. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется точно один туз.
Решение. Полная группа равновероятных и несовместимых событий в нашей задаче состоит из всевозможных комбинаций по три карты, их число равно . Число благоприятствующих событий можно подсчитать следующим способом. Один туз мы можем выбратьразличными способами, а две другие карты (не тузы) можно выбратьразличными способами. Так как для каждого определенного туза две остальные карты могут быть выбраныспособами, то всего благоприятствующих случаев будет. Искомая вероятность, таким образом, равна
|
|
т. е. немного больше 0,25.
Пример 2. Из колоды карт (36 карт) наудачу вынимаются три карты. Найти вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз.
Решение. Обозначим интересующее нас событие буквой А:
оно может быть представлено в виде суммы трех следующих несовместимых событий: А1 — появление одного туза, А2 — появление двух тузов, A3—появление трех тузов.
Рассуждениями, аналогичными тем, которые мы привели при решении предыдущей задачи, легко установить, что число случаев, благоприятствующих
событию равно,
событию равно,
событию равно.
Так как число всевозможных случаев равно , то
|
|
|
|
|
|
В силу теоремы сложения
|
|
Этот пример можно решить и иным методом. Событие , противоположноеА, состоит в том, что среди вынутых карт не окажется ни одного туза. Очевидно, что три не туза можно вынуть из колоды карт различными способами и, следовательно,
|
|
Искомая вероятность равна
|
|
Примечание. В обоих примерах выражение «наудачу» означало, что всевозможные комбинации по три карты равновероятны.