Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.

9.1. Краткая теоретическая часть

В качестве числовых характеристик дискретных случайных величин чаще всего используются моменты этих величин.

Начальный и центральный моменты-го порядкадискретной случайной величины определяются формулами

,

где — математическое ожидание,— возможныезначения случайной величины X, — соответствующие им вероятности, а — математическое ожиданиеX. Таким образом, начальный момент первого порядка определяется формулой

,

второй центральный момент, или дисперсия, — формулой

или формулой

.

Среднее квадратическое отклонение определяется соотношением

.

Если, вероятности различных значений случайной величины X зависят от события ,то условное математическоеожидание случайной величины X при условии осуществления есть

Если ) образуют полную группу несовместных событий, т.е. , то полное математическоеожидание X связано с условным математическим ожиданием формулой

Во всех приведенных выше формулах число слагаемых в суммах может быть бесконечным; в этом случае для существования соответствующего математического ожидания ряд должен сходиться абсолютно.

9.2. Тест

1. Выберите правильное определение начального и центральногомоментов-го порядка дискретной случайной величины:

а)

,

где - математическое ожидание,- возможные значения случайной величины,- соответствующие им вероятности,- математическое ожидание

б)

,

где - математическое ожидание,- возможные значения случайной величины,- соответствующие им вероятности,- математическое ожидание

в)

,

где - математическое ожидание,- возможные значения случайной величины,- соответствующие им вероятности,- математическое ожидание

г)

,

где - математическое ожидание,- возможные значения случайной величины,- соответствующие им вероятности,- математическое ожидание

2. Укажите правильное определение математического ожидания дискретной случайной величины. Математическим ожиданием называется сумма ряда, если

а) ряд сходится

б) ряд сходится абсолютно

в) никаких дополнительных условий не должно быть

3. Какие из перечисленных предложений определяют числовую характеристику - математическое ожидание?

а) положение реализации случайной величины на числовой прямой

б) некоторое число, вокруг которого группируются реализации случайной величины

в) рассеянье случайной величины

4. Дисперсия – это числовая характеристика случайной величины, которая определяет:

а) положение реализации случайной величины на числовой прямой

б) некоторое число, вокруг которого группируются реализации случайной величины

в) рассеянье случайной величины

9.3. Решение типовых задач

Пример 9.1. Партия, насчитывающая 100 изделий, содержит 10 дефектных. Из всей партии случайным образом отбираются с целью проверки качества 5 изделий (случайная выборка). Найти математическое ожидание числа дефектных изделий, содержащихся в случайной выборке.

Решение.

Случайное число дефектных изделий, содержащихся в выборке, может иметь следующие значения:

Вероятности того, чтоX принимает данное значение , равны (см. пример 8.1)

(1, 2, 3, 4, 5, 6).

Искомое математическое ожидание

.

Так как есть коэффициент прив произведении, тоесть коэффициент прив выражении

.

Следовательно,

, а

Пример 9.2. Дискретная случайная величина задана рядом распределения 1, 2, 3, … ,.Выразить математическое ожидание случайной величины через производящую функцию

.

Решение.

По определению математического ожидания случайной величины

.

С другой стороны, значение производной от производящей функции, вычисленное при , равно

.

Следовательно,

.

Пример 9.3. Опыт может быть успешным с вероятностью р и неуспешным с вероятностью 1 —р.

Условная вероятность достижения намеченного результата после т успешных опытов Р(т) равна

.

Найти математическое ожидание числа независимых опытов, необходимых для достижения намеченного результата.

Решение.

Обозначим вероятность достижениянамеченного результата при опытах. Если— вероятность иметь ровно т успешных из общего числа п опытов, то согласно формуле полной вероятности

Так как опыты независимы и вероятность успешного исхода в каждом из них равна р, то

.

Подставляя в формулу для значения и Р(т), получим

.

Для достижения намеченного результата потребуется ровно п опытов, если при п-м опыте он будет достигнут. Вероятность последнего события равна .Следовательно, математическое ожидание случайного числа опытов, необходимых для достижения намеченного результата,

Для вычисления последней суммы воспользуемся равенством

,

справедливым при . Полагая в данном случае, получим

.

Пример 9.4. Прибор имеет п предохранителей. В случае перегрузки сгорает один из предохранителей, который заменяется новым. Каково математическое ожидание числаперегрузок , после которых в приборе окажутся замененными все первоначально установленные предохранители, если выход из строя в момент перегрузки любого из п предохранителей (как незамененного, так и нового) равновероятен?

Решение.

Обозначим математическое ожиданиечисла перегрузок, после которых все первоначально установленные п предохранителей окажутся замененными, если остались незамененными предохранителей.

Для вычисления воспользуемся формулой полного математического ожидания. Если остались незамененными предохранителей, то для повреждения одногоиз них потребуется очередная перегрузка. В зависимости от результатов очередной перегрузки будут различными средние числа перегрузок, необходимых для сгорания предохранителей, оставшихся из числа первоначально установленных.

При очередной перегрузке могут произойти два события:

—сгорел один из первоначально установленных предохранителей, вероятность чего ;

—сгорел замененный предохранитель, вероятность чего .

Если при очередной перегрузке произойдет событие , то математическое ожидание числа перегрузок для замены всех предохранителей, не замененных до очередной перегрузки, будет равно . Если же при очереднойперегрузке произойдет событие А₂, то это математическое ожидание будет равно . На основании формулы полного математического ожидания имеем

или, после несложных преобразований,

.

Если, т. е. остался лишь один незамененный.предохранитель, то вероятность его замены равна. Следовательно, на основании примера 9.3 будем иметь

Итак, имеем цепь равенств:

суммируя которые, получим

или

.

Пример 9.5. В результате испытаний двух приборов (А и В) установлена вероятность появления помех, оцениваемых по трехбалльной системе (табл. 6). (В случае отсутствия помех их уровень принимается равным нулю).

Таблица 6.

Уровень помех		1	2	3
Вероятность появления помех данного уровня	Прибор А	0,20	0,06	0,04
	Прибор В	0,06	0,04	0,10

По приведенным данным выбрать лучший прибор, если лучшим является тот, который в среднем имеет меньший уровень помех.

Решение.

Обозначим через X случайный уровень помех. Средний уровень помех для прибора А

балла.

Для прибора В

балла.

Итак, по среднему баллу оба прибора равноценны. В качестве дополнительного критерия сравнения используем среднее квадратическое отклонение уровня помех:

балла,

балла.

Таким образом, прибор А дает более устойчивые показания относительно средних, и, следовательно, он лучше прибора В.