- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 90
- •1. Теоретическая часть. Введение
- •Раздел 1. Понятие события и его вероятности.
- •1.1. Предмет теории вероятности.
- •1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.
- •1.3. Классическое определение вероятности.
- •1.4. Геометрические вероятности.
- •1.5. Частота и вероятность.
- •1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы.
- •1.8. Формула полной вероятности.
- •1.9 Формула Бейеса.
- •Раздел 2. Последовательные независимые испытания
- •2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли.
- •2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
- •Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства.
- •3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
- •3.2. Свойства функции распределения.
- •3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •3.4. Числовые характеристики случайных величин.
- •Раздел 4. Примеры распределений случайных величин.
- •4.1. Биномиальное распределение.
- •4.2. Теорема Пуассона
- •4.3. Закон Пуассона.
- •4.4. Равномерное распределение.
- •4.5. Показательное распределение.
- •4.6.Нормальный закон распределения.
- •Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы).
- •5.1. Понятие о системе случайных величин.
- •5.2. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.
- •5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.
- •5.5. Зависимые и независимые случайные величины.
- •5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора).
- •5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.
- •6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
- •6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
- •6.4. Распределение произведения.
- •6.5. Распределение квадрата случайной величины.
- •6.6. Распределение частного.
- •6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
- •Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.
- •7.1. Основные теоремы о математическом ожидании.
- •7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.
- •7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.
- •Раздел 8. Характеристические функции.
- •8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
- •8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
- •Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.
- •9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
- •9.2. Закон больших чисел.
- •9.3. Следствия закона больших чисел.
- •Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •10.1. Центральная предельная теорема.
- •10.2. Теорема Ляпунова.
- •10.3. Теорема Лапласа.
- •2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.
- •1.1. Краткая теоретическая часть.
- •1.2. Тест.
- •1.3. Решение типовых задач.
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.
- •2.1. Краткая теоретическая часть.
- •2.2. Тест
- •2.3. Решение типовых задач
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1. Краткая теоретическая часть
- •3.2. Тест
- •3.3. Решение типовых задач
- •3.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.
- •4.1. Краткая теоретическая часть
- •4.2. Тест
- •4.3. Решение типовых задач
- •4.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 5. Формула полной вероятности.
- •5.1. Краткая теоретическая часть
- •5.2. Тест.
- •5.3. Решение типовых задач
- •5.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 6. Формула Бейеса.
- •6.1. Краткая теоретическая часть
- •6.2.Тест
- •6.3. Решение типовых задач
- •6.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 7. Последовательные независимые испытания.
- •7.1. Краткая теоретическая часть
- •7.2. Тест
- •7.3. Решение типовых задач
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •8.1. Краткая теоретическая часть а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •8.2. Тест
- •А) только к дискретным случайным величинам
- •8.3. Решение типовых задач а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •9.1. Краткая теоретическая часть
- •9.2. Тест
- •9.3. Решение типовых задач
- •9.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •10.1. Краткая теоретическая часть
- •10.2. Тест
- •10.3. Решение типовых задач
- •10.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 11. Закон Пуассона.
- •11.1. Краткая теоретическая часть
- •11.2. Тест
- •11.3. Решение типовых задач
- •11.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 12. Закон нормального распределения.
- •12.1. Краткая теоретическая часть
- •12.2. Тест
- •12.3. Решение типовых задач
- •12.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Литература
1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
Развитие естествознания в начале текущего столетия предъявило к теории вероятностей повышенные требования. Возникла необходимость в систематическом изучении основных понятий теории вероятностей и выяснении тех условий, при которых возможно использование ее результатов. Вот почему особенно важное значение приобрело формально-логическое обоснование теории вероятностей, ее аксиоматическое построение. При этом в основу теории вероятностей как математической науки должны быть положены некоторые предпосылки, являющиеся обобщением многовекового человеческого опыта. Теория вероятностей должна строиться из аксиом так же, как любая сформировавшаяся математическая наука—алгебра, геометрия, абстрактная теория групп и т.д.
В современной математике принято аксиомами называть те предложения, которые принимаются за истинные и в пределах данной теории не доказываются. Все остальные положения этой теории должны выводиться чисто логическим путем из принятых аксиом. Формулировка аксиом, т. е. тех фундаментальных положений, на базе которых строится обширная теория, представляет собой не начальную стадию развития математической науки, а является результатом длительного накопления фактов и логического анализа полученных результатов с целью выявления действительно основных первичных фактов. Впервые задача аксиоматического построения теории вероятностей как логически совершенной науки была поставлена и решена в 1917 г. известным математиком С. Н. Бернштейном. При этом С. Н. Бернштейн исходил из качественного сравнения случайных событий по их большей или меньшей вероятности.
Имеется иной подход, предложенный А. Н. Колмогоровым, который тесно связывает теорию вероятностей с современной метрической теорией функций, теорией множеств.
Аксиоматическое построение основ теории вероятностей отправляется от основных свойств вероятности, подмеченных на примерах классического и статистического определений.
В аксиоматике теории вероятностей Колмогорова понятие случайного события не является первичным, а строится из более элементарных понятий. С таким подходом мы уже встречались при рассмотрении некоторых примеров. Так, в задачах на геометрическое определение вероятности рассматривается область G пространства (прямой, плоскости и т.д.), в которую «наудачу» бросается точка. Случайными событиями при этом являются попадания в те или иные подобласти области G. Каждое случайное событие является при этом некоторым подмножеством множества точек G. Эта мысль положена в основу общей концепции случайного события в аксиоматике А. Н. Колмогорова.
Колмогоров исходит из множества (пространства) U элементарных событий. Что представляют собой элементы этого множества для логического развития теории вероятностей — безразлично.
Далее рассматривается некоторая система F подмножеств множества U', элементы системы F называются случайными событиями.
Относительно структуры системы F предполагаются выполненными три следующих требования:
1) F в качестве элемента содержит множество U.
2) Если А и В—подмножества множества U—входят в F в качестве элементов, то в качестве элементов F содержит также множества А+В, АВ, А–В и т.д.
Второе требование влечет за собой принадлежность к множеству F сумм, произведений и дополнений конечного числа событий, принадлежащих F. Таким образом, элементарные операции над случайными событиями не могут вывести нас за пределы множества случайных событий. Назовем систему событий F полем событий.
Во многих важнейших задачах нам понадобится от поля событий требовать большего, а именно
3) Если подмножества множестваU являются элементами множества F, то их сумма и произведение также являются элементамиF.
Множество F, образованное описанным способом, носит название борелевского поля событий.
Только что изложенный способ определения случайного события вполне согласуется с тем представлением, которое мы получили при рассмотрении конкретных примеров. Для большей ясности рассмотрим пример.
Пример 1. Бросается игральная кость. Множество U элементарных событий состоит из шести элементов: . Здесьозначает выпадениеi очков. Множество F случайных событий состоит из следующих 26 = 64 элементов:
Здесь каждая скобка показывает, из каких элементов множества U составлено подмножество, входящее в качестве элемента в состав F символом (V) мы обозначили пустое множество.
Определение 1. Если два случайных события А и В не имеют в своем составе одних и тех же элементов множества U, то мы будем называть их несовместимыми.
Событие U будем называть достоверным событием, а событие V (пустое множество) — невозможным событием. События иназываются противоположными.
Теперь мы можем перейти к формулировке аксиом, определяющих вероятность.
Аксиома 1. Каждому случайному событию из поля событийF поставлено в соответствие неотрицательное число Р(A), называемое его вероятностью.
Аксиома 2. Р (U)=1.
Аксиома 3(аксиома сложения). Если события попарно несовместимы, то
|
(1.6.1) |
Для классического определения вероятности свойства, выраженные аксиомами 2 и 3, не нужно было постулировать, так как эти свойства вероятности были нами доказаны. Утверждение же аксиомы 1 содержится в самом классическом определении вероятности.
Из сформулированных аксиом мы выведем несколько важных элементарных следствий.
1. Вероятность невозможного события равна нулю.
Из равенства и аксиомы 3 мы заключаем, что.
2. Для любого события A: .
Так как ,тогдаоткуда.
3. Каково бы ни было случайное событие A, .
4. Если событие A влечет за собой событие В, то .
5. Пусть A и В — два произвольных события. Поскольку в суммах ислагаемые являются несовместимыми событиями, то в соответствии с аксиомой 3
Отсюда вытекает теорема сложения для произвольных событий A и B . В силу не отрицательностиотсюда заключаем, что.
По индукции теперь выводим, что если - произвольные события, то имеет место неравенство
|
(1.6.2) |
Система аксиом Колмогорова непротиворечива, так как существуют реальные объекты, которые всем этим аксиомам удовлетворяют. Например, если за U принять произвольное множество с конечным числом элементов , заF —совокупность всех подмножеств ,, то, положив
|
(1.6.3) |
где — произвольные неотрицательные числа, удовлетворяющие равенству .
Система аксиом Колмогорова неполна: даже для одного и того же множества U вероятности в множестве F мы можем выбирать различными способами.
Так, в рассмотренном нами примере с игральной костью мы можем положить или
|
|
или
|
|
Неполнота системы аксиом теории вероятностей не является свидетельством их неудачного выбора или недостаточной работы мысли при их создании.
Дальнейшее развитие теории нуждается в дополнительном предположении, которое носит название расширенной аксиомы сложения. Необходимость введения новой аксиомы объясняется тем, что в теории вероятностей постоянно приходится рассматривать события, подразделяющиеся на бесконечное число частных случаев.
Расширенная аксиома сложения. Если событие А равносильно наступлению хотя бы одного из попарно несовместимых событий , то
|
(1.6.4) |
Заметим, что расширенная аксиома сложения может быть заменена равносильной ей аксиомой непрерывности.
Аксиома непрерывности. Если последовательность событий такова, что каждое последующее влечет за собой предыдущее и произведение всех событийесть невозможное событие, то
|
(1.6.5) |
Докажем эквивалентность только что сформулированных предложений.
1. Из расширенной аксиомы сложения следует аксиома непрерывности. Действительно, пусть события таковы, чтои при любом
|
(1.6.6) |
Очевидно, что
|
(1.6.7) |
Так как события, стоящие в этой сумме, попарно несовместимы, то согласно расширенной аксиоме сложения
|
(1.6.8) |
Но в силу условия (1.6.6)
|
(1.6.9) |
поэтому
|
(1.6.10) |
т. е. есть остаток сходящегося ряда
|
(1.6.11) |
Поэтому .
2. Из аксиомы непрерывности следует расширенная аксиома сложения. Пусть события ... попарно несовместимы и
Положим
|
(1.6.12) |
Ясно, что . Если событиенаступило, то наступило какое-нибудь из событийи, значит, в силу по парной несовместимости событийсобытияуже не наступили. Таким образом, событияневозможны и, следовательно, невозможно событие. По аксиоме непрерывности.
Так как , то по обычной аксиоме сложения
|
(1.6.13) |
В заключение мы можем сказать, что с точки зрения теории множеств данное нами аксиоматическое определение вероятности есть не что иное, как введение в множестве U нормированной, счетно-аддитивной, неотрицательной меры P, определенной для всех элементов множества F.
При определении понятия вероятности мы должны указывать не только исходное множество элементарных событий U (в современных работах его часто обозначают также буквой Q), но также множество случайных событий F и определенную на нем функцию Р. Совокупность [U,F,Р] называется вероятностным пространством.