Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.

4.1. Краткая теоретическая часть

Вероятность суммы двух событий определяется по формуле

P(A+В) = Р(A)+Р(B) — Р(AB),

которая обобщается на сумму любого числа событий

Для несовместных событий вероятность суммы событий равна сумме вероятностей этих событий, т. е. .

4.2. Тест

1. В каком случае события А и В называются несовместными или несовместимыми?

а) Когда вероятность появления одного из них не зависит от вероятности появления второго

б) Когда хотя бы одно из этих событий произойдет в ходе испытания

в) Когда совместное появление этих событий невозможно

г) Когда оба этих события произойдут в ходе опыта

2. Укажите события, которые являются совместимыми.

а) Выпадение «герба» и цифры при подбрасывании монеты

б) Присутствие одного и того же студента одновременно на лекции в аудитории и в кинотеатре

в) Наступление весны по календарю и выпадение снега

г) Появление на выпавшей грани каждой из двух игральных костей трех очков и равенство суммы очков на выпавших гранях обеих костей нечетному числу

д) Показ по одному каналу телевидения футбольного матча, а по другому – выпуска новостей

3. Теорема сложения вероятностей несовместных событий формулируется следующим образом:

а) Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна вероятности появления второго события

б) Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

в) Вероятность появления одного из двух несовместных событий равна разности вероятностей появления этих событий

4. Теорема сложения вероятностей совместных событий формулируется следующим образом:

а) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий

б) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления

в) Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий и вероятности их совместного появления

5. Теорема сложения вероятностей обобщается на сумму любого числа событий и вероятность суммы событий в общем виде вычисляется по формуле:

а)

б)

в)

6. Если события ,являются несовместными, то вероятность суммы этих событий равна:

а)

б)

в)

4.3. Решение типовых задач

Пример 4.1. Определить вероятность того, что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии, если условиями приема допускается бракованных изделий не более одного из пятидесяти.

Решение.

Введем в рассмотрение событие С, состоящее в том, что партия из ста изделий, среди которых пять бракованных, будет принята при испытании наудачу выбранной половины всей партии.

Обозначим через А событие, состоящее в том, что при испытании не получено ни одного бракованного изделия, а через В — событие, состоящее в том, что получено только одно бракованное изделие.

Так как С=А+В, то искомая вероятность P(C) = Р(А+B).

События А и В несовместны. Поэтому P(C) = Р(А)+ Р(B).

Из 100 изделий 50 можно выбрать способами. Из 95 небракованных изделий 50 можно выбратьспособами.

Поэтому Р(A)=.

Аналогично Р(B)= .

Тогда

P(C) = Р(А)+ Р(B)=+==0,181.

Пример 4.2. Электрическая цепь между точками М и N составлена по схеме, приведенной на рис. 5.

Выход из строя за времяТ различных элементов цепи — независимые события, имеющие следующие вероятности (табл. 1).

Таблица 1

Элемент	K1	K2	Л1	Л 2	Л 3
Вероятность	0,6	0,5	0,4	0,7	0,9

Определить вероятность разрыва цепи за указанный промежуток времени.

Решение.

Введем в рассмотрение событие С, состоящее в том, что за указанный промежуток времени будет разрыв цепи.

Обозначим через A_j (j = 1,2) событие, состоящее в выходе из строя элемента К_j, через А — выход из строя хотя бы одного элемента К_j, а через В — выход из строя всех трех элементов А_i (i=1, 2, 3).

Тогда искомая вероятность

Р(С) = Р(A + В) = Р(A) + Р(В) — Р(A)Р(B).

Так как

Р(A) = Р(A₁) + Р(A₂) — Р(A₁)Р(A₂) = 0,8,

Р(В) = Р(Л₁)Р(Л ₂) Р(Л₃) = 0,252,

то .

Пример 4.3. В урне имеются n белых, m черных и l красных шаров, которые извлекаются наудачу по одному:

а) без возвращения;

б) с возвращением после каждого извлечения.

Определить в обоих случаях вероятности того, что белый шар будет извлечен раньше черного.

Решение.

Пусть Р₁ — вероятность того, что белый шар будет извлечен раньше черного, а Р₁₁ — вероятность того, что черный шар будет извлечен раньше белого.

Вероятность Р₁ является суммой вероятностей извлечения белого шара сразу, после извлечения одного красного, двух красных и т. д. Таким образом, можно записать в случае, когда шары не возвращаются,

а при возвращении шаров

Для получения вероятностей Р₁₁ в предыдущих формулах нужно произвести замену n на m, а m на n. Отсюда следует, что в обоих случаях Р₁: Р₁₁ = n:m. Так как, кроме того, Р₁ + Р₁₁ = 1, то искомая вероятность при извлечении шаров без возвращения также равна .

Пример 4.4. Некто написал n писем, запечатал их в конверты, а затем наудачу на каждом из них написал различные адреса. Определить вероятность того, что хотя бы на одном из конвертов написан правильный адрес.

Решение.

Пусть событие A_k состоит в том, что на k-м конверте написан правильный адрес (k = l, 2,..., n).

Искомая вероятность .

События A_k совместны; при любых различных k, j, i,... имеют место равенства:

Используя формулу для вероятности суммы n событий, получаем

или

При больших n .