- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 90
- •1. Теоретическая часть. Введение
- •Раздел 1. Понятие события и его вероятности.
- •1.1. Предмет теории вероятности.
- •1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.
- •1.3. Классическое определение вероятности.
- •1.4. Геометрические вероятности.
- •1.5. Частота и вероятность.
- •1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы.
- •1.8. Формула полной вероятности.
- •1.9 Формула Бейеса.
- •Раздел 2. Последовательные независимые испытания
- •2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли.
- •2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
- •Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства.
- •3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
- •3.2. Свойства функции распределения.
- •3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •3.4. Числовые характеристики случайных величин.
- •Раздел 4. Примеры распределений случайных величин.
- •4.1. Биномиальное распределение.
- •4.2. Теорема Пуассона
- •4.3. Закон Пуассона.
- •4.4. Равномерное распределение.
- •4.5. Показательное распределение.
- •4.6.Нормальный закон распределения.
- •Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы).
- •5.1. Понятие о системе случайных величин.
- •5.2. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.
- •5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.
- •5.5. Зависимые и независимые случайные величины.
- •5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора).
- •5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.
- •6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
- •6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
- •6.4. Распределение произведения.
- •6.5. Распределение квадрата случайной величины.
- •6.6. Распределение частного.
- •6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
- •Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.
- •7.1. Основные теоремы о математическом ожидании.
- •7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.
- •7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.
- •Раздел 8. Характеристические функции.
- •8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
- •8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
- •Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.
- •9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
- •9.2. Закон больших чисел.
- •9.3. Следствия закона больших чисел.
- •Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •10.1. Центральная предельная теорема.
- •10.2. Теорема Ляпунова.
- •10.3. Теорема Лапласа.
- •2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.
- •1.1. Краткая теоретическая часть.
- •1.2. Тест.
- •1.3. Решение типовых задач.
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.
- •2.1. Краткая теоретическая часть.
- •2.2. Тест
- •2.3. Решение типовых задач
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1. Краткая теоретическая часть
- •3.2. Тест
- •3.3. Решение типовых задач
- •3.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.
- •4.1. Краткая теоретическая часть
- •4.2. Тест
- •4.3. Решение типовых задач
- •4.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 5. Формула полной вероятности.
- •5.1. Краткая теоретическая часть
- •5.2. Тест.
- •5.3. Решение типовых задач
- •5.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 6. Формула Бейеса.
- •6.1. Краткая теоретическая часть
- •6.2.Тест
- •6.3. Решение типовых задач
- •6.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 7. Последовательные независимые испытания.
- •7.1. Краткая теоретическая часть
- •7.2. Тест
- •7.3. Решение типовых задач
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •8.1. Краткая теоретическая часть а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •8.2. Тест
- •А) только к дискретным случайным величинам
- •8.3. Решение типовых задач а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •9.1. Краткая теоретическая часть
- •9.2. Тест
- •9.3. Решение типовых задач
- •9.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •10.1. Краткая теоретическая часть
- •10.2. Тест
- •10.3. Решение типовых задач
- •10.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 11. Закон Пуассона.
- •11.1. Краткая теоретическая часть
- •11.2. Тест
- •11.3. Решение типовых задач
- •11.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 12. Закон нормального распределения.
- •12.1. Краткая теоретическая часть
- •12.2. Тест
- •12.3. Решение типовых задач
- •12.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Литература
12.4. Задачи для самостоятельной работы
12.1. Измерительный прибор имеет систематическую ошибку 5 м и среднюю квадратическую ошибку 75 м, Какова вероятность того, что ошибка измерения не превзойдет по абсолютной величине 5 м?
(Ответ: )
12.2. Систематическая ошибка удержания высоты самолетом +20 м, а случайная ошибка имеет среднее квадратическое отклонение 75 м. Для полета самолета отведен коридор высотой 100 м. Какова вероятность, что самолет будет лететь ниже, внутри и выше коридора, если самолету задана высота, соответствующая середине коридора?
(Ответ: pниже=0,18; pвнутри=0,48; pвыше=0,34)
12.3. Срединная ошибка измерения дальности радиолокатором равна 25 м, а систематическая ошибка отсутствует. Определить:
а) дисперсию ошибок измерения дальности;
б) вероятность получения ошибки измерения дальности, по абсолютной величине не превосходящей 20 м.
(Ответ: а) 1372 м2; б) 0,4105)
12.4. Случайное отклонение размера детали от номинала при изготовлении ее на данном станке имеет нулевое математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение, равное 5 мк. Сколько необходимо изготовить деталей, чтобы с вероятностью не менее 0,9 среди них была хотя бы одна годная, если для годной детали допустимо отклонение размера от номинала не более, чем на 2 мк?
(Ответ: )
12.5. Даны две случайные величины X и Y, имеющие одинаковые дисперсии, но первая распределена нормально,а вторая равномерно. Определить соотношение между их срединными отклонениями.
(Ответ: )
12.6. Нормально распределенная случайная величина X имеет математическое ожидание м и срединное отклонение 10 м. Вычислить таблицу функции распределения для значений аргумента через каждые 10 м и построить график.
(Ответ: См. таблицу
|
-65 |
-55 |
-45 |
-35 |
-25 |
-15 |
-5 |
+5 |
+15 |
+25 |
+35 |
|
35 |
350 |
2150 |
8865 |
25 000 |
50 000 |
75 000 |
91 135 |
97 850 |
99 650 |
99 965 |
)
12.7. Систематическая ошибка высотомера равна +20 м, а случайные ошибки распределены по нормальному закону. Какую среднюю квадратическую ошибку должен иметь высотомер, чтобы с вероятностью 0,9 ошибка измерения высоты по абсолютной величине была меньше 100 м?
(Ответ: . Получающееся трансцендентное уравнение проще решить графически)
12.8. Найти связь между средним арифметическим отклонением
нормально распределенной случайной величины и ее средним квадратическим отклонением.
(Ответ: )
12.9. Определить для нормально распределенной случайной величины X, имеющей М [X] = 0,
1)
2) (при
(Ответ: 1) 0,1587; 0,0228; 0,00135; 2) 0,3173; 0,0455; 0,0027)
12.10. Заряд охотничьего пороха отвешивается на весах, имеющих среднюю квадратическую ошибку взвешивания 150 мг. Номинальный вес порохового заряда 2,3 г. Определить вероятность повреждения ружья, если максимально допустимый вес порохового заряда 2,5 г.
(Ответ: )
12.11. Производятся два независимых измерения прибором, имеющим среднюю квадратическую ошибку 30м и систематическую ошибку +10м. Какова вероятность того, что обе ошибки измерений, имея разные знаки, по абсолютной величине превзойдут 10 м?
(Ответ: )
12.12. На плоскости проведены две параллельные прямые, расстояние между ними L. На эту же плоскость бросается круг радиуса R. Центр рассеивания расположен на расстоянии b от одной из линий во внешнюю сторону. Срединное отклонение центра круга в направлении, перпендикулярном линии, равно Е.
Определить при одном бросании:
а) вероятность накрытия кругом хотя бы одной прямой;
б) вероятность накрытия обеих прямых, если L= 10м, R = 8м, b=5м, E=10м.
(Ответ: а) 0,5196; б) 0,1281)
12.13. Изделие считается высшего качества, если отклонение его размеров от номинала не превосходит по абсолютной величине 3,45 мм. Случайные отклонения размера изделия от номинала подчиняются нормальному закону со средним квадратическим отклонением, равным 3 мм, а систематические отклонения отсутствуют. Определить среднее число изделий высшего сорта, если изготовляются четыре изделия.
(Ответ: изделия)
12.14. Какой ширины должно быть поле допуска, чтобы с вероятностью не более 0,0027 получалась деталь с контролируемым размером вне поля допуска, если случайные отклонения размера от середины поля допуска подчиняются закону нормального распределения с параметрами = 0 и = 5мк
(Ответ: Не менее 30 мк)
12.15. Какое наибольшее расстояние допустимо между двумя рыболовецкими судами, идущими параллельными курсами, чтобы вероятность обнаружения косяка рыбы, находящегося посередине между ними, была не менее 0,5, если дальность обнаружения косяка для каждого из судов является независимой нормально распределенной случайной величиной с км и средним квадратическим отклонением =1,1км?
(Ответ: ~8,6 км)
12.16. При большом числе измерений установлено, что 75% ошибок
а) не превосходят +1,25 мм;
б) не превосходят по абсолютной величине 1,25 мм.
Заменяя частоты появления ошибок их вероятностями, определить в обоих случаях среднее квадратическое отклонение ошибок измерения, считая их нормально распределенными с нулевым математическим ожиданием.
(Ответ: а) 1,85 мм; 2) 1,08 мм)
12.17. Случайное отклонение X размера детали от номинала распределено по нормальному закону с математическим ожиданием и средним квадратическим отклонением . Годными деталями являются те, для которых а < X < b. Деталями, подлежащими переделке, являются те, для которых Х>b.
Найти:
а) функцию распределения случайных отклонений размеров деталей, подлежащих переделке;
б) функцию распределения случайных отклонений размеров годных деталей.
(Ответ: а) ) для; б)для)
12.18. Нормально распределенная случайная величина X имеет нулевое математическое ожидание. Определить среднее квадратическое отклонение , при котором вероятность была бы наибольшей ().
(Ответ: )