- •Теория вероятностей
- •Содержание
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов. 90
- •1. Теоретическая часть. Введение
- •Раздел 1. Понятие события и его вероятности.
- •1.1. Предмет теории вероятности.
- •1.2. Алгебра событий. Пространство элементарных событий.
- •1.3. Классическое определение вероятности.
- •1.4. Геометрические вероятности.
- •1.5. Частота и вероятность.
- •1.6. Аксиоматическое построение теории вероятностей.
- •1.7. Условная вероятность и простейшие основные формулы.
- •1.8. Формула полной вероятности.
- •1.9 Формула Бейеса.
- •Раздел 2. Последовательные независимые испытания
- •2.1. Независимые испытания. Формулы Бернулли.
- •2.2. Обобщенная теорема о повторении опытов.
- •Раздел 3. Понятие случайной величины. Функция распределения и ее основные свойства.
- •3.1. Понятие случайной величины и функции распределения.
- •3.2. Свойства функции распределения.
- •3.3. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •3.4. Числовые характеристики случайных величин.
- •Раздел 4. Примеры распределений случайных величин.
- •4.1. Биномиальное распределение.
- •4.2. Теорема Пуассона
- •4.3. Закон Пуассона.
- •4.4. Равномерное распределение.
- •4.5. Показательное распределение.
- •4.6.Нормальный закон распределения.
- •Раздел 5. Системы случайных величин (случайные векторы).
- •5.1. Понятие о системе случайных величин.
- •5.2. Функция распределения системы двух случайных величин.
- •5.3. Плотность распределения системы двух случайных величин.
- •5.4. Законы распределения отдельных компонент, входящих в систему. Условные законы распределения.
- •5.5. Зависимые и независимые случайные величины.
- •5.6. Числовые характеристики системы двух случайных величин.
- •5.7. Система произвольного числа случайных величин (случайные вектора).
- •5.8. Числовые характеристики системы нескольких случайных величин.
- •Раздел 6. Законы распределения функций случайных аргументов.
- •6.1. Закон распределения функции одного случайного аргумента.
- •6.2. Закон распределения функции двух случайных величин.
- •6.3. Закон распределения суммы двух случайных величин. Композиция законов распределения.
- •6.4. Распределение произведения.
- •6.5. Распределение квадрата случайной величины.
- •6.6. Распределение частного.
- •6.7. Числовые характеристики функций случайных величин.
- •Раздел 7. Теоремы о числовых характеристиках.
- •7.1. Основные теоремы о математическом ожидании.
- •7.2. Теоремы о дисперсии случайной величины.
- •7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.
- •Раздел 8. Характеристические функции.
- •8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
- •8.2. Предельные теоремы для характеристических функций.
- •Раздел 9. Предельные теоремы для случайных величин.
- •9.1. Сходимость последовательностей случайных величин.
- •9.2. Закон больших чисел.
- •9.3. Следствия закона больших чисел.
- •Раздел 10. Предельные теоремы теории вероятностей.
- •10.1. Центральная предельная теорема.
- •10.2. Теорема Ляпунова.
- •10.3. Теорема Лапласа.
- •2. Практические занятия, тесты, самостоятельная работа. Занятие 1. Непосредственный подсчет вероятности с использованием классического определения вероятности.
- •1.1. Краткая теоретическая часть.
- •1.2. Тест.
- •1.3. Решение типовых задач.
- •1.4. Задачи для самостоятельной работы.
- •Занятие 2. Геометрическое определение вероятности.
- •2.1. Краткая теоретическая часть.
- •2.2. Тест
- •2.3. Решение типовых задач
- •2.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 3. Условная вероятность. Теорема умножения вероятностей.
- •3.1. Краткая теоретическая часть
- •3.2. Тест
- •3.3. Решение типовых задач
- •3.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 4. Теорема сложения вероятностей.
- •4.1. Краткая теоретическая часть
- •4.2. Тест
- •4.3. Решение типовых задач
- •4.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 5. Формула полной вероятности.
- •5.1. Краткая теоретическая часть
- •5.2. Тест.
- •5.3. Решение типовых задач
- •5.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 6. Формула Бейеса.
- •6.1. Краткая теоретическая часть
- •6.2.Тест
- •6.3. Решение типовых задач
- •6.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 7. Последовательные независимые испытания.
- •7.1. Краткая теоретическая часть
- •7.2. Тест
- •7.3. Решение типовых задач
- •7.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 8. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •8.1. Краткая теоретическая часть а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •8.2. Тест
- •А) только к дискретным случайным величинам
- •8.3. Решение типовых задач а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Б) Функция распределения и плотность вероятности непрерывной случайной величины
- •8.4. Задачи для самостоятельной работы а) Ряд, многоугольник и функция распределения случайной дискретной величины
- •Занятие 9. Числовые характеристики дискретных случайных величин.
- •9.1. Краткая теоретическая часть
- •9.2. Тест
- •9.3. Решение типовых задач
- •9.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 10. Дискретные и непрерывные случайные величины.
- •10.1. Краткая теоретическая часть
- •10.2. Тест
- •10.3. Решение типовых задач
- •10.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 11. Закон Пуассона.
- •11.1. Краткая теоретическая часть
- •11.2. Тест
- •11.3. Решение типовых задач
- •11.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Занятие 12. Закон нормального распределения.
- •12.1. Краткая теоретическая часть
- •12.2. Тест
- •12.3. Решение типовых задач
- •12.4. Задачи для самостоятельной работы
- •Литература
7.3. Теорема о линейной зависимости случайных величин.
Теорема. Для линейной независимости двух случайных величин X и Y необходимо и достаточно, что бы .
Необходимость. Пусть , тогда. Определим
|
(7.3.1) |
откуда
|
(7.3.2) |
Подсчитаем коэффициент корреляции , получим
|
(7.3.3) |
Достаточность.
Пусть . Для определенности положим
Введем в рассмотрение случайную величину ;;определим дисперсию случайной величиныZ
|
|
|
|
что и требовалось доказать.
Раздел 8. Характеристические функции.
Простое решение весьма многих задач теории вероятностей, особенно тех из них, которые связаны с суммированием независимых случайных величин, удается получить с помощью характеристических функций, теория которых развита в анализе и известна как преобразования Фурье.
8.1. Определение и простейшие свойства характеристических функций.
Определение 1. Характеристической функцией случайной величины X называется математическое ожидание случайной величины , то есть
|
(8.1.1) |
если X – дискретная случайная величина и известен ряд ее распределения, то
|
(8.1.2) |
если X – непрерывная случайная величина с известной плотностью распределения f(x), то
|
(8.1.3) |
Следует заметить, что ряд (8.1.2) и интеграл (8.1.3) сходится абсолютно. Рассмотрим сходимость на примере интеграла (8.1.3)
|
|
Теорема 1. Характеристическая функция равномерно непрерывна на всей прямой и удовлетворяет следующим соотношениям:
|
(8.1.4) |
Доказательство. Соотношения (8.1.4) немедленно вытекают из определения характеристической функции. Действительно, подставляя в (8.1.3) получим
|
|
Откуда .
Нам остается доказать равномерную непрерывность функции q(x). С этой целью рассмотрим разность
|
(8.1.5) |
и оценим ее по модулю. Имеем:
|
|
Пусть произвольно; выберем столь большоеА, чтобы
|
(8.1.6) |
и подберем столь малое h, чтобы для выполнилось условие
|
(8.1.7) |
Тогда, учитывая (8.1.6) и (8.1.7) получаем
|
(8.1.8) |
Это неравенство доказывает теорему.
Теорема 2. Если , где a и b — постоянные, то
|
(8.1.9) |
где и есть характеристические функции величин Y и X.
Доказательство. Действительно,
|
|
Теорема 3. Характеристическая функция суммы двух независимых случайных величин равна произведению их характеристических функций.
Доказательство. Пусть X и Y — независимые случайные величины и . Так как X и Y независимы, то случайные величины и.Отсюда вытекает, что .
Это доказывает теорему.
Следствие. Если
|
|
причем каждое слагаемое независимо от суммы предыдущих, то характеристическая функция величины X равна произведению характеристических функций слагаемых.
Применение характеристических функций в значительной степени опирается на свойство, сформулированное в теореме 3. Сложение независимых случайных величин приводит к весьма сложной операции — композиции функций распределения слагаемых. Для характеристических функций эта сложная операция заменяется весьма простой — простым умножением характеристических функций.
Теорема 4(единственности). Распределения F(x),f(x) однозначно определяются своей характеристической функцией .
Обратное соответствие устанавливается, в частности, следующей формулой:
|
(8.1.10) |
Теорема 5(непрерывности).
а) Если последовательность функций распределения сходится к функции распределения F в точках ее непрерывности, то последовательность соответствующих характеристических функций сходится к характеристической функции распределения F.
б) Если последовательность характеристических функций сходится всюду наR1 к некоторой функции , непрерывной в точкеt=0, то есть характеристическая функция распределенияF, при этом в точках непрерывности F функция распределения F является пределом последовательности распределений , соответствующей .
Теорема 6. Если случайная величина X имеет абсолютный момент п-го порядка, то характеристическая функция величины X дифференцируема п раз и при
|
(8.1.11) |
Доказательство. Действительно, k - кратное ()формальное дифференцирование характеристической функции приводит к равенству
|
(8.1.12) |
Но
|
|
и, следовательно, в силу предположения теоремы ограничен. Отсюда следует существование интеграла (8.1.12) и законность дифференцирования. Положив в (8.1.12) t=0, получим:
|
|
Математическое ожидание и дисперсия весьма просто выражаются при помощи производных от логарифма характеристической функции. В самом деле, положим . Тогда
|
|
Приняв во внимание, что qx(0)=1 и равенство (8.1.11), находим:
|
|
|
|
Отсюда
|
(8.1.13) |
Производная k-го порядка логарифма характеристической функции в точке 0, умноженная на , называется семиинвариантом k-го порядка случайной величины.
Как это непосредственно следует из теоремы 3, при сложении независимых случайных величин их семиинварианты складываются.
Мы только что видели, что первыми двумя семиинвариантами являются математическое ожидание и дисперсия, т. е. момент первого порядка и некоторая рациональная функция моментов первого и второго порядков. Путем вычислений легко убедиться, что семиинвариант любого порядка k есть (целая) рациональная функция первых k моментов. Для примера приведем явные выражения семиинвариантов третьего и четвертого порядков:
|
|
|
|
Рассмотрим теперь несколько примеров характеристических функций.
Пример 1. Случайная величина X распределена по нормальному закону с математическим ожиданием а и дисперсией . Характеристическая функция величины равна
|
|
Подстановкой
|
|
приводится к виду
|
|
Известно, что при любом вещественном a
|
|
следовательно.
|
|
В частном случае, когда , то естьa=0, а =1, то характеристическая функция имеет вид .
Пример 2. Найти характеристическую функцию случайной величины X, распределенной по закону Пуассона.
Согласно предположению, случайная величина X принимает только целочисленные значения, причем
|
|
где — постоянная. Характеристическая функция величиныX равна
|
|
отсюда находим:
|
|