Раздел 4. Примеры распределений случайных величин.

4.1. Биномиальное распределение.

Рассмотрим дискретную случайную величину Х , которая принимает значения 0,1,2,…n с вероятностями

(4.1.1)

В схеме Бернулли: Х – число наступлений m раз события А в серии из n – независимых испытаний. Введем в рассмотрение производящую функцию, которая в данном случае имеет вид

(4.1.2)

Нетрудно заметить, что .

Придавая значение Z=1, получим

(4.1.3)

Подсчитаем числовые характеристики биномиального распределения:

1) математическое ожидание в соответствии с определением выражается формулой:

(4.1.4)

Найдем производную производящей функции:

(4.1.5)

Придавая значение Z=1, получим

(4.1.6)

Из соотношения (4.1.6) следует

(4.1.7)

Далее подсчитаем дисперсию по формуле. Второй начальный момент определяется формулой

(4.1.5)

Умножим производную производящей функции на z:

Дифференцируя полученное выражение, получим

и вычисляя при Z=1, получим

(4.1.6)

Из (4.1.6) нетрудно заметить, что , тогда:

	(4.1.7)
	(4.1.8)

Если р–мало, а п–достаточно большое число, то формулой биномиального распределения пользоваться не удобно.

4.2. Теорема Пуассона

Теорема Пуассона. Если при, а, то

(4.2.1)

где

Доказательство. Очевидно, что

Сомножители начиная со второго до m-го и знаменатель последней дроби при , очевидно сходятся к единице. Выражениеотn не зависит. Числитель дроби присходится. Таким образом, предел:

(4.2.2)

Что и требовалось доказать.

4.3. Закон Пуассона.

Во многих задачах практики приходится иметь дело со случайными величинами, распределенными по закону, который называется законом Пуассона.

Рассмотрим дискретную случайную величину X, которая может принимать только целые, неотрицательные значения 0,1,2,....m,... причем последовательность этих значений теоретически не ограничена. Случайная величина Х распределена по закону Пуассона, если вероятность того, что она примет определенное значение т, выражается формулой

(4.3.1)

где а - некоторая положительная величина, называемая параметром закона Пуассона.

Ряд распределения случайной величины X имеет вид:

Табл.4.3.1.

xm	0	1	2	…	m	…
Pm	e^-a			…		…

Убедимся прежде всего, что последовательность вероятностей, задаваемая формулой (4.3.1), представляет собой ряд распределения. Имеем:

На рис. 4.3.1 показаны многоугольники распределения случайной величины X, распределенной по закону Пуассона, соответствующие различным значениям параметра а.

Определим основные характеристики — математическое ожидание и дисперсию — случайной величины Х. По определению математического ожидания

(4.3.2)

Первый член суммы (соответствующий m=0) равен нулю, следовательно, суммирование можно начинать с m=1:

Обозначим m-1=k; тогда

(4.3.3)

Таким образом, параметр а представляет собой не что иное, как математическое ожидание случайной величины X.

Для определения дисперсии найдем сначала второй начальный момент:

По ранее доказанному

кроме того,

следовательно, .

Далее находим дисперсию случайной величины X: .

Таким образом, дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, равна ее математическому ожиданию а..

Это свойство распределения Пуассона часто применяется на практике для решения вопроса, правдоподобна ли гипотеза о том, что случайная величина Х распределена по закону Пуассона.