- •Курс лекций по математике
- •§ 2. Способы задания множеств
- •§ 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств
- •§ 4. Операции над множествами
- •§ 5. Законы операций над множествами
- •Контрольные вопросы
- •§ 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств
- •§ 7. Понятие разбиения множества на классы
- •Контрольные вопросы
- •Глава 2. Математические предложения § 1. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания
- •§ 2. Законы алгебры высказываний
- •Контрольные вопросы
- •§ 3. Предикаты и операции над ними
- •Контрольные вопросы
- •§ 4. Высказывания с кванторами и их отрицания
- •Контрольные вопросы
- •§ 5. Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие
- •Контрольные вопросы
- •§ 6. Строение и виды теорем
- •Контрольные вопросы
- •Глава 3. Математические понятия § 1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями
- •§ 2. Определение понятия. Требования к определению понятия
- •Контрольные вопросы
- •Глава 4. Математические доказательства § 1. Умозаключения и их виды
- •§ 2. Схемы дедуктивных умозаключений
- •§ 3. Проверка правильности умозаключений
- •§ 4. Способы математического доказательства
- •Контрольные вопросы
- •Глава 5. Соответствия §1. Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств
- •§ 2. Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий
- •§ 3. Взаимно однозначное соответствие
- •§ 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества
- •Контрольные вопросы
- •§ 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций
- •§ 6. Виды функций
- •§ 7. Обратная функция
- •Контрольные вопросы
- •Глава 6. Отношения на множестве § 1. Понятие отношения. Способы задания отношений
- •§ 2. Свойства отношений
- •§ 3. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы
- •§ 4. Отношение порядка. Упорядоченные множества
- •Контрольные вопросы
- •Глава 7. Выражения. Уравнения. Неравенства § 1. Числовое выражение и его значение
- •§ 2. Числовые равенства и их свойства
- •§ 3. Числовые неравенства и их свойства
- •§ 4. Выражение с переменной, его область определения. Тождество.
- •§ 5. Уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения
- •Глава 1. Элементы теории множеств 2
§ 2. Схемы дедуктивных умозаключений
Умозаключение дает истинное заключение, если исходные посылки истинны и соблюдены правила вывода, или, как их еще называют, схемы дедуктивных умозаключений.
Рассмотрим наиболее часто использующиеся правила.
1. Правило заключения:.
В данном правиле А(х)В(х) – общая посылка. Это может быть теорема, определение и, вообще предложение видаА(х)В(х). Вторая посылкаА(а) – частная посылка, а предложениеВ(а) – заключение.
Пример: Все числа, оканчивающиеся нулем, делятся на 10. Число 50 оканчивается нулем. Следовательно, число 50 делится на 10.
В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((АВ)А)В).
Докажем тождественную истинность этой формулы при помощи таблицы истинности.
А |
В |
А В |
А В А |
(А В А) В |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
Правило отрицания:.
Пример. Если число делится на 6, то оно делится на 3. Число 28 не делится на 3. следовательно, число 28 не делится на 6.
В основе этого правила лежит тождественно истинная формула ((АВ))).
А |
В |
А В |
А В |
(А В) | ||
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
3. Правило силлогизма:.
Пример. Все квадраты – ромбы. Все ромбы – параллелограммы. Следовательно, все квадраты – параллелограммы.
В основе правила лежит тождественно истинная формула (АВ)ВС)(АС).
А |
В |
С |
АВ |
В С |
(АВ)(В С) |
АС |
(АВ)ВС)(АС) |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
И |
Л |
И |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
4. Правило контрапозиции:.
Пример. Если углы смежные, то их сумма равна 180о. Следовательно, если сумма углов не равна 180о, то углы не смежные.
В основе этого правила лежит тождественно истинная формула (АВ)().
А |
В |
А В |
|
(АВ)() | ||
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
Л |
И |
Л |
И |
И |
Л |
И |
И |
И |
Л |
Л |
И |
И |
И |
И |
И |
§ 3. Проверка правильности умозаключений
В логике существуют различные способы проверки правильности умозаключений.
Один из них – с использованием кругов Эйлера. Данное умозаключение вначале записывают на теоретико-множественном языке и изображают посылки на кругах Эйлера.
Словесная формулировка |
Запись на теоретико-множественном языке |
Изображение на кругах Эйлера |
Всякое АестьВ |
А В |
А В
|
Некоторые АестьВ |
АВ |
А В
|
Некоторые Ане естьВ |
АВ |
А В
|
Ни одно Ане естьВ |
АВ= |
А В
|
а естьА |
аА |
А
|
а не естьА |
аА |
А а
|
Изображая посылки на кругах Эйлера, считают их истинными. После этого выясняют, всегдали при таких посылках истинно заключение. Если всегда – умозаключение правильное; если же возможен рисунок, из которого видно, что заключение может быть ложным, то умозаключение неправильное.
П
В
З
А
Пример2. Все числа, делящиеся на 10, делятся на 5. Число 47 не делится на 10. Следовательно, число 47 не делится на 5. На теоретико-множественном языке умозаключение
п
В А В А а
Математические софизмы
В математике давно заметили, что использование схем, не гарантирующих истинность заключения, приводят к неверному выводу, лонному заключению. Математики стали умышленно придумывать неправильные рассуждения, имеющие видимость правильных.
Софизмомназывается умышленно ложное умозаключение, которое имеет видимость правильного. Каков бы ни был софизм, он обязательно содержит одну или несколько замаскированных ошибок. Особенно часто в математических софизмах выполняются «запрещенные» действия или не учитываются условия применения теорем, формул и правил. Иногда рассуждения ведутся с использованием ошибочного чертежа или опираются на приводящие к ошибочным заключениям «очевидности».
В истории развития математики софизмы играли существенную роль. Они способствовали повышению строгости математических рассуждений и содействовали более глубокому уяснению понятий и методов математики.
Разбор софизмов прежде всего развивает логическое мышление, т.е. прививает навыки правильного мышления. Обнаружить ошибку в софизме – это значит осознать ее, а осознание ошибки предупреждает от повторения ее в других математических рассуждениях.
Пример 1. Докажем, что 5 = 1. Будем рассуждать так: из чисел 5 и 1 по отдельности вычтем одно и тоже число 3. Получим числа 2 и –2. при возведении в квадрат этих чисел получаются равные числа 4 и 4. Значит, должны быть и исходные числа 5 и 1. Необходимо указать, где допущена ошибка. Ошибка в следующем: из равенства квадратов двух чисел не следует, что сами эти числа равны.
Пример 2. Докажем, что спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Пустьа– дли на спички (дм) иb– длина столба (дм). Разность междуb и аобозначим черезс. Имеем:b – а=с,b = а+с. Перемножая эти два равенства по частям, находим:b2–ab = ca+ c2. Вычтем из обеих частейbc. Получим:b2–ab – bc = ca+ c2–bc, илиb(b–a – c) = – c(b–a – c), откудаb = –с, ноb – а=с, поэтомуb = а– b, илиа= 2b, т.е. спичка вдвое длиннее телеграфного столба. Ошибка состоит в том, что нельзя делить наb–a – c, т.к.b–a – c= 0.