§ 2. Определение понятия. Требования к определению понятия
Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.
Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина. Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Определить понятие – значит указать существенные свойства объекта, которых достаточно для распознавания объекта.
Различают явные и неявные определения.
Явныеопределения имеют форму равенства,
совпадения двух понятий, его можно
представить в таком виде:аесть (по
определению)b. Слова
«есть (по определению)» обычно заменяют
символом
,
и тогда определение выглядит так:а 
b.
Рассмотрим определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник с равными сторонами». В этом определении можно выделить определяемой понятие «квадрат» и определяющее понятие «прямоугольник с равными сторонами».
Примеры явных определений.
О
определяемое понятие
родовое понятие
видовое отличие
пределение через род и видовое отличие. Оно имеет вид:
+
определяющее понятие
Примером такого определения является определение квадрата, данное выше.
Требования к определению через род и видовое отличие:
Определение должно быть соразмерным– объемы определяемого и определяющего понятия должно совпадать. Например, определение «Квадрат – это четырехугольник с равными сторонами» соразмерным не является, т.к. множество четырехугольников с равными сторонами – это множество ромбов.
В определении не должно быть порочного круга– нельзя определять понятие через само себя. Так, нельзя дать такое определение: «сложение называется действие, при котором числа складываются».
Определение должно быть ясным– значения терминов, входящих в определяющее понятие должны быть известны к моменту определении нового понятия. Например, нельзя определить квадрат как ромб с прямыми углами, если понятие «параллелограмм» еще не изучено.
Определение должно быть достаточным– в определении должны быть указаны все свойства, позволяющие однозначно выделять объекты, принадлежащие объему определяемого понятия. Например, в определении «Биссектрисой угла называется луч, делящий угол пополам» этим свойством не обладает, т.к. не указано, что луч выходит из вершины угла.
Определение не должно быть избыточным– не должно быть указано лишних свойств. Так, в определении «Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны и диагонали взаимно перпендикулярны» свойство, что диагонали взаимно перпендикулярны, является лишним.
Генетические– указывается способ образования определяемого объекта. Например: «Ломаной называется линия, состоящая из точек и соединяющих их отрезков
Индуктивные– указываются некоторые основные объекты теории и правила, позволяющие получать новые из уже имеющихся. Например: «Геометрической прогрессией называется числовая последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же число».
Неявныеопределения не имеют формы совпадения двух понятий. В них нельзя выделить определяемое и определяющее понятия.
Примеры неявных определений.
Контекстуальные– содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст. Пример: после записи 3 +х= 9 и перечня чисел 2, 3, 6 и 7 идет текст: «х– неизвестное число, которое надо найти. Какое из чисел надо подставить вместох, чтобы равенство было верным? Это число 6». Из этого текста следует, что уравнение – это равенство с неизвестным числом, которое надо найти, а решить уравнение – это значит найти такое значениех, при подстановке которого в уравнение получается верное равенство.
Остенсивные– введение терминов путем показа, демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Пример: 2 < 7, 2 · 4 > 5 – это неравенства.
Неявные определения часто используются в начальной школе.