§ 7. Обратная функция

Пусть функция у=f(х) задает инъективное отображение числового множестваХв множество действительных чиселR(т.е. различным значениям аргумента соответствую различные значения функции).

Пусть Y– множество значений функцииу=f(х), гдехХ. Тогда для любогоу₀Yнайдется единственное значениех₀Х, такое, чтоу₀=f(х₀). Этим определяется отображениеY наХ, т.е. функциях=φ(у),уY. Такую функцию называют обратной для функцииу=f(х), гдехХ.

Чтобы найти выражение для обратной функции, надо выразить хчерезуи затем поменять их местами.

Замечание1. Если отображениеу=f(х) не является инъективным, то обратной функции не существует.

Замечание 2. Если функцияу=f(х) определена и возрастает (убывает) на промежуткеХи областью ее значений является промежутокY, то у нее существует обратная функция, причем она определена и возрастает (убывает) наY.

Пример 1.Функцияу=х²(х R) не имеет обратной, т.к., например, значениямх= 5 их= – 5 соответствует одно и то же значениеу= 25.

Пример 2.Функцияу= 2х– 1 (х R) возрастает на всей числовой прямой, значит у нее есть обратная функция. Чтобы ее найти, надо из формулыу= 2х– 1 выразитьх. Получимх=.

Поменяем хиуместами.у=– искомая обратная функция.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение числовой функции. Перечислите способы задания функций.

2. Какое множество называют областью определения и множеством значений функции?

3. Какое множество точек координатной плоскости называют графиком функции?

4. Дайте определения постоянной функции, прямой пропорциональности, обратной пропорциональности, линейной функции, квадратичной функции и укажите их свойства.

Глава 6. Отношения на множестве § 1. Понятие отношения. Способы задания отношений

Мы выяснили, что между элементами двух различных множеств существуют различные соответствия. Но различные связи, отношения существуют и между элементами одного и того же множества.

Например, на множестве студентов первого курса можно рассмотреть отношения: «хстаршеу», «хиу– друзья», «хиуучатся в одной группе» и т.д.

В математике рассматриваются такие отношения как «х >у», «хкратноу», «прямаяхпараллельна прямойу» и т.д.

В математике чаще всего рассматриваются отношения между двумя объектами. Их называют бинарными.

Определение. Отношениеммежду элементами множестваХили отношением на множествеХназывается всякое подмножество декартова произведенияХ Х.

Другими словами: бинарное отношение – это соответствие, заданное на одном и том же множестве Х.

Обозначают отношения прописными буквами латинского алфавита: Р,Q,Rи т.д.

Поскольку отношение есть частный случай соответствия, то и способы задания отношений будут те же, что и для соответствий.

Рассмотрим отношение «меньше», заданное на множестве Х= {1; 2; 3; 4}. Отношение задано указанием характеристического свойства. Зададим его перечислением:R= {(1; 2); (1; 3); (1; 4); (2; 3); (2; 4); (3; 4)}. Также данное отношение можно задать

	1	2	3	4
1
2
3
4

таблицей

графом

графиком

Точки, изображающие элементы множества Х– вершины графа, стрелки – ребра графа.

Пример. Построим граф отношения «хкратноу»,Х= {1; 2; 3; 4}.

Каждое число является делителем самого себя, поэтому для каждой точки множества рисуем стрелку, начало и конец которой совпадают (стрелку на графе, у которой начало и конец совпадают, называют петлей).

Графы отношений удобно использовать при решении логических задач, в том числе и в начальной школе.

Задача. Из лагеря вышли 5 туристов. Мы назовем их не в том порядке, в котором они идут один за другим: Вася, Аня, Толя, Лена и Миша. Толя идет впереди Миши, Лена – впереди Васи, но позади Миши, Аня – впереди Толи. Кто идет первым и кто идет последним? Кто идет вслед за Мишей, и кто идет перед Мишей?

В задаче рассматривается два отношения: «идти впереди» и «идти позади». Выберем одно из них, например, «идти впереди», т.е. будем на графе ставить стрелку от впереди идущего к тому, кто идет вслед за ним. Граф будет выглядеть следующим образом:

Вася Аня

Толя

Миша

Лена

По графу можно легко ответить на все вопросы задачи: Первой идет Аня, последним – Вася, Вслед за Мишей идет Лена, а перед Мишей – Толя.