§ 2. Числовые равенства и их свойства

Пусть даны 2 числовых выражения АиВ. Соединив их знаком равенства, получим некоторое высказывание, называемое числовым равенством.

Равенство А=В считается истинным тогда и только тогда, когда оба выраженияАиВимеют числовые значения, причем эти значения одинаковы.

Пример. 1) 16 : 2 = 3 + 5 – истинное числовое равенство, т.к. левая и правая части этого неравенства имеют значение 8;

2) 3 ∙ 4 = 15 – 4 – ложное равенство, т.к. значение левой части равно 12, а правой 11;

3) 15 : (10 – 10) = 15 – ложно, т.к. выражение в левой части не имеет значения.

Из данного выше определения вытекает, что если истинны равенства А=В иС=D, гдеА,В,С,D – числовые выражения, то при условии выполнимости соответствующих операций, истинны и равенства (А) + (С) = (В) + (D), (А) – (С) = (В) – (D), (А) ∙ (С) = (В) ∙ (D), (А) : (С) = (В) : (D), т.е. числовые равенства можно почленно складывать, вычитать, умножать, делить.

Отношение равенства числовых выражений обладает свойствами:

1) рефлексивности (А=А);

2) симметричности (А=В В =А);

3) транзитивности (А=В  В =С А=С), т.о. данное отношение является отношением эквивалентности и множество числовых выражений разбивается на классы эквивалентности, состоящие из выражений, имеющих одно и то же значение;

4) если к обеим частям истинного числового равенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А=В (А) + (С) = (В) + (С));

5) если обе части истинного числового равенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то полученное числовое равенство будет также истинным (А=В (А) ∙ (С) = (В) ∙ (С));

6) если обе части истинного числового равенства возвести в одну и ту же нечетную степень, то получим истинное числовое равенство (если п– нечетное натуральное число, тоА=В (А)^п = (В) ^п;

7) если обе части истинного числового равенства, левая и правая части которого имеют неотрицательное значение, возвести в одну и ту же четную степень, то получим истинное числовое равенство (если п– четное натуральное число, значения числовых выраженийАиВнеотрицательны, тоА=В (А)^п = (В)^п. Если снять условие, что значения числовых выраженийАиВнеотрицательны, то вместо эквивалентности будем иметь лишь импликациюА=В  (А)^п = (В)^п.

§ 3. Числовые неравенства и их свойства

Пусть АиВ – два числовых выражения. Соединив их знаком > или <, получим некоторое высказывание, называемое числовым неравенством. НеравенствоА<Всчитается истинным, еслиАиВ имеют числовые значения, причем числовое значение выраженияАменьше числового значения выраженияВ.

Пример. 2 + 5 < 3 ∙ 4 – истинное неравенство, т.к. левая часть имеет значение 7, правая имеет значение 12 и 7 < 12.

Неравенство А≤В является дизъюнкцией неравенстваА<В и равенстваА=В.Оно истинно тогда и только тогда, когда истинно хотя бы одно из данных элементарных высказываний.

Неравенство А<В <С является конъюнкцией неравенствА<В иВ <С.Оно истинно тогда и только тогда, когда истинны оба неравенства.

Выполнив указанные в числовых выражениях действия, мы получим в левой и правой части неравенства соответствующие числа. Пусть а, b,с,d– соответствующие значения числовых выраженийА,B,C,D.

Свойства числовых неравенств

1) если к обеим частям истинного числового неравенства прибавить одно и то же числовое выражение, имеющее смысл, то получим также истинное числовое неравенство (А<В (А) + (С) < (В) + (С));

2) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее положительное значение, то полученное числовое неравенство будет также истинным (А<В (А) ∙ (С) < (В) ∙ (С));

3) если обе части истинного числового неравенства умножить на одно и то же числовое выражение, имеющее смысл и принимающее отрицательное значение, то, чтобы получить истинное числовое неравенство, необходимо знак неравенства поменять на противоположный (А<В (А) ∙ (С) > (В) ∙ (С));

4) неравенства одного знака можно почленно складывать (А<В,С <D (А) + (С) < (В) + (D));

5) неравенства одного знака, имеющие положительные значения, можно почленно перемножать (если А<В,С <D, причема, b,с,d > 0, то (А) ∙ (С) < (В) ∙ (D));

6) обе части истинного числового неравенства можно возвести в одну и ту же нечетную степень (если п– нечетное натуральное число, тоА<В (А)^п < (В) ^п);

7) возводить в четную степень обе части неравенства можно лишь в том случае, если обе они имеют неотрицательные значения (если п– четное натуральное число иа, b ≥ 0, тоА<В (А)^п < (В) ^п);

8) если а, b < 0,А<В >.