§ 6. Виды функций

1. Постоянная функция.

Определение. Постоянной называется функция, заданная формулойу=b, гдеb- некоторое число.

у=b

у

Графиком является прямая, параллельная ости абсцисс и проходящая через точку с координатами (0; b).

х

2. Прямая пропорциональность.

Определение. Прямой пропорциональностью называется функция,

заданная формулой у=k х, гдеk 0. Числоk называют коэффициентом

пропорциональности.

Свойства функции у=k х

1. Область определения – множество всех действительных чисел.

2. Множество значений – множество всех действительных чисел.

3. Функция нечетная, т.к. f(–х) =k ∙ (–х) = –k х = –f(х).

4. При k > 0 функция возрастает, приk < 0 функция убывает.

5. Графиком прямой пропорциональности у=k х является прямая, проходящая через начало координат (еслиk> 0, то график расположен в первой и третьей четверти; еслиk< 0 – во второй и четвертой).

Свойство прямой пропорциональности: если функция f(х) – прямая пропорциональность, и (х₁;у₁), (х₂;у₂) – пары соответствующих значений, причемх₂0, то. Действительно,у₁=k х₁,у₂=k х₂. Т.к.х₂0, тоу₂ 0. Тогда.

Если х> 0 иу > 0, то свойство прямой пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменнойхв несколько раз соответствующее значение переменнойуувеличивается во столько же раз; с уменьшением значений переменнойхв несколько раз соответствующее значение переменнойууменьшается во столько же раз.

3. Обратная пропорциональность

Определение. Обратной пропорциональностью называется функция, заданная формулойу=, гдеk 0. Числоk– коэффициент обратной пропорциональности.

Свойства функции у=

1. Область определения: (-; 0)(0; +)

2. Множество значений: R\ {0}.

3. Функция нечетная, т.к. f(–х) == – = –f(х).

4. При k > 0 функция убывает на промежутке (-; 0)(0; +), приk < 0 функция возрастает на промежутке (-; 0)(0; +).

5. Графиком обратной пропорциональности является гипербола; при k > 0 график расположен в первой и третьей четверти, приk < 0 график расположен во второй и четвертой четверти. Чтобы построить график, надо составить таблицу значений функции.

Свойство обратной пропорциональности: если функция f(х) – обратная пропорциональность, и (х₁;у₁), (х₂;у₂) – пары соответствующих значений, причемх₂0,у₁ 0, то. Действительно,у₁=,у₂=. Тогда.

Если х> 0 иу > 0, то свойство обратной пропорциональности можно сформулировать так: с увеличением значений переменнойхв несколько раз соответствующее значение переменнойууменьшается во столько же раз; с уменьшением значений переменнойхв несколько раз соответствующее значение переменнойуувеличивается во столько же раз.

4. Линейная функция

Определение. Линейной функцией называется функция, которую можно задать формулойу=k х+b, гдеk иb– некоторые действительные числа.

Если k= 0, то получаем постоянную функцию, еслиb= 0, то получаем прямую пропорциональностьу=k х.

Свойства:

1. Область определения – все действительные числа.

2. Множество значений – все действительные числа.

3. Функция не является ни четной, ни нечетной.

4. При k > 0 функция возрастает, приk < 0 функция убывает на всей числовой прямой.

5. Графиком линейной функции у=k х+bявляется прямая. Положение этой прямой на плоскости определяют коэффициентыk иb. Если k > 0, то угол между осью абсцисс и графиком функции острый, еслиk < 0, то угол тупой. Заметим, что чем больше модуль числаk, тем ближе прямая к оси ординат. Коэффициентbесть значение отрезка, отсекаемого прямой на оси ординат.

Пусть даны две линейные функции у=k₁ х+b₁ иу=k₂ х+b₂. Прямые, являющиеся графиками данных функций, пересекаются, еслиk₁ k₂; параллельны, еслиk₁= k₂; совпадают, еслиk₁= k₂иb₁=b₂.

5. Квадратичная функция

Определение. Квадратичной функцией называется функция, которую можно задать формулойу=ах²+bx+с, гдех– независимая переменная;а,b,с– некоторые числа, причема0.

Рассмотрим частный случай у=ах². Графиком является парабола. Еслиа= 1, то формула примет виду=х², и график проходит через точки (0; 0), (1; 1), (-1; 1), (2; 4), (–2; 4) (постройте график самостоятельно)

График функции у=ах²можно получить из графика функцииу=ах²сжатием к оси ординат, еслиа> 1 и сжатием к оси абсцисс, если 0 <а < 1.

Свойства функции у=ах²(а> 0):

1. Область определения – вся числовая прямая.

2. Множество значений [0; +)

3. Функция четная.

4. Убывает на (–; 0), возрастает на (0; +).

5. График – парабола, проходящая через точку (0; 0).

6. Наименьшее значение принимает в точке (0; 0), наибольшего значения нет.

График функции у= –х²получают из параболыу=х²путем осевой симметрии относительно оси абсцисс.

Рассмотрим функцию у=ах²+bx+с.

ах²+bx+с=а(х²+х+) =

Получим формулу вида у=а(х – т)²+п.

Графиком является парабола с вершиной в точке (т;п), гдет=,п=.

Осью симметрии является прямая х=т, параллельная оси ординат; если то ветви направлены вверх, еслиа< 0, то ветви направлены вниз.

Свойства квадратичной функции у=ах²+bx+с:

1. Область определения – вся числовая прямая.

2. Множество значений: при а> 0– , приа< 0–

3. Если b ≠ 0, то функция не является ни четной, ни нечетной.

4. При а> 0 убывает на (–;), возрастает на промежутке (; +); приа< 0 возрастает на промежутке (–;), убывает на промежутке (; +).

Примеры построения графиковквадратичных функций.

Первый способ.

Пусть требуется построить график функции у=х²+ 4х+ 5.

Выполним преобразования: х²+ 4х+ 5 =(х²+ 8х+ 10) =(х²+ 8х+ 16 + 10 – 16) = =(х+ 4)²– 3.

Выполним параллельный перенос плоскости, поместив начало новой системы координат в точку О´(– 4; – 3) и построим в этой системе координат график функцииу=х².

Можно было воспользоваться формулами: х₀ === – 4;у₀==.

Второй способ– построение параболы по точкам с ординатой, равной свободному члену квадратного трехчлена.

Пусть требуется построить график функции у=х²– 4х+ 5.

Найдем точки графика, имеющие ординату 5. для этого решим уравнение х²– 4х+ 5 = 5.

Имеем: х²– 4х= 0;х(х– 4) = 0, откудах₁= 0;х₂= 4.

Точки А(0; 5) иВ(4; 5) имеют одинаковую ординату, следовательно они симметричны относительно прямойх= 2. Еслих= 2, тоу= 4 – 8 + 5 = 1, т.е. вершина параболы имеет координаты (2; 1).

Третий способ– построение параболы по корням квадратного трехчлена.

Пусть х₁их₂= корни квадратного трехчленаах²+bx+с, тогда график пересекает ось абсцисс в точкеА(х₁; 0) иВ(х₂; 0), а ось симметрии проходит перпендикулярно отрезкуАВчерез его середину, следовательно абсциссу вершины находим по формулех₀=.