Контрольные вопросы

1. Какое утверждение называется теоремой?

2. Для теоремы вида А (х)ÞВ (х) запишите обратное, противоположное, обратное противоположному предложения. В каком случае полученные предложения будут являться теоремами?

Глава 3. Математические понятия § 1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, ромб имеет 4 угла, 4 стороны, противоположные стороны параллельны. Можно указать и другие свойства, например, диагональ АС расположена горизонтально.

Среди свойств различаютсущественныеинесущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Несущественные свойства – это такие свойства, отсутствие которых не влияет на существование объекта.

Существенные свойства: иметь 4 равных стороны, 4 угла.

Несущественные свойства: вершина Влежит напротив вершиныD, диагональАСрасположена горизонтально.

Чтобы понимать, что представляет собой данный объект, надо знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином. Так, говоря о треугольнике, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся треугольниками.

Любое понятие имеет объем и содержание.

Определение.Объемпонятия – это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Определение.Содержаниепонятия – это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Пример. Рассмотрим понятие «параллелограмм». Объем понятия – это множество различных параллелограммов (в том числе и ромбов, прямоугольников, квадратов). В содержание понятия входят такие свойства параллелограммов, как «иметь 4 стороны», «иметь параллельные противоположные стороны», «иметь равные противоположные углы» и т.д.

Между объемом и содержанием понятия существует такая связь: чем «больше» объем понятия, тем «меньше» его содержание и наоборот. Например, объем понятия «ромб» является частью понятия «параллелограмм», а в содержании понятия «ромб» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «параллелограмм». Например, в содержании понятия «ромб» есть свойство «все стороны равны», которого нет в содержании понятия «параллелограмм».

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами а,b,с,d,…, а их объемы соответственноА,В,С,D,… .

Если объемы понятий аиbне пересекаются, т.е.АВ=, то говорят, что понятияаиbнесовместимы. Примерами несовместимых понятий являются понятия трапеции и треугольника.

Если объемы понятий аиbпересекаются, т.е.АВ, то говорят, что понятияаиbсовместимы. Пример – прямоугольник и ромб.

Если объемы понятий аиbсовпадают, т.е.А=В, то говорят, что понятияаиbтождественны. Пример – квадрат и ромб с прямым углом.

Если объем понятия аявляется собственным подмножеством объема понятияb, т.е.А В,АВ, то говорят, что:

а) понятие аявляетсявидовымпо отношению к понятиюb, понятиеb– родовым по отношению к понятиюа;

б) понятие ауже, чем понятиеb, понятиеbшире, чем понятиеа;

в) понятие аестьчастный случайпонятияb, а понятиеb– обобщение понятияа.

Пример: понятие «квадрат» – видовое по отношению к понятию «прямоугольник», а понятие «прямоугольник» – родовое по отношению к понятию «квадрат».

Остановимся подробнее на последнем отношении.

1. Понятие рода и вида относительны. Одно и то же понятие может быть видовым по отношению к одному понятию и родовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» является родовым по отношению к понятию «квадрат» и видовым по отношению к понятию «параллелограмм».

2. Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий, среди которых можно указать ближайшее. Например, родовыми для понятия «квадрат» будут понятия «прямоугольник», «параллелограмм», «четырехугольник». Ближайшим среди них будет понятие «прямоугольник».

3. Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, понятие «ромб» является видовым по отношению к понятию «параллелограмм»; ромбы обладают всеми свойствами, присущими параллелограммам.

Рассмотрим отношения между понятиями «отрезок» и «прямая». Объемы этих понятий не пересекаются, т.к. ни один отрезок нельзя назвать прямой и наоборот. Об этих понятиях можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок – часть прямой, а не ее вид. Заметим, что часть не всегда обладает свойством целого. Прямая бесконечна, а отрезок – нет.