Контрольные вопросы
Как можно предикат превратить в высказывание?
Приведите примеры слов, которые используются в качестве кванторов общности и существования.
Укажите способы установления значения истинности высказываний, содержащих кванторы?
Как построить отрицание высказываний, содержащих кванторы?
§ 5. Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие
Часто встречаются такие предикаты, что из истинности одного из них следует истинность другого. Например, можно сказать, что из предиката А(х): «числохкратно 9» следует предикатВ(х): «числохкратно 3», т.к. мы знаем, что при всех значенияхх, при которых истинно утверждение «числохкратно 9» будет и истинно утверждение «числохкратно 3».
Определение. ПредикатВ (х)следуетиз предикатаА(х), еслиВ (х) обращается в истинное высказывание при всех тех значенияхх, при которых истинен предикатА(х).
В этом случае говорят, что данные предложении находятся в отношении логического следования и обозначают: А(х)В (х).
Выясним в каком отношении находятся области истинности предикатов А(х) иВ (х).ТА= {9; 18; 27; …},ТВ= {3; 6; 9; 12; 15; 18; …}. Видим, чтоТА ТВ.
Таким образом, А(х)В (х)ТА ТВ.
Если А(х)В (х), то предикатВ (х) называютнеобходимымусловием дляА(х), а предикатА(х) –достаточнымусловием дляВ (х).
Так, утверждение о том, что если число кратно 9, то оно кратно 3, можно сформулировать так: «кратность числа 9 является достаточным условием кратности числа 3» или «кратность числа 3 является необходимым условием его кратности 9».
Как и любое высказывание, предложение А(х)В (х) может быть истинным либо ложным. Но так как оно может быть сформулировано в виде «всякоеА(х) естьВ (х)», то его истинность устанавливается путем доказательства, а то, что оно ложно – с помощью контрпримера.
Рассмотрим два предиката: А(х): «число оканчивается нулем» иВ (х): «число делится на 10». Из школьного курса математики известно, что если число оканчивается нулем, то оно делится на 10. Верно и обратное. В этом случае говорят, что предложенияА(х) иВ (х) равносильны.
Определение. ПредикатыА(х) иВ (х)равносильны, если из предикатаА(х) следует предикатВ (х), а из предикатаВ (х) следует предикат.
Для обозначения отношения равносильности используется знак .
Высказывание А(х)В (х) можно прочитать так:А(х) равносильноВ (х),А(х) тогда и только тогда, когдаВ (х),А(х) необходимое и достаточное условие дляВ (х),В (х) необходимое и достаточное условие дляА(х).
Заметим, что А(х)В (х) тогда и только тогда, когдаТА =ТВ.
Контрольные вопросы
Что значит предикат В (х) следует из предикатаА (х)? В каком отношении находятся множества истинности этих предикатов?
В каком случае предикат А (х) будет являться необходимым условием для предикатаВ (х), достаточным условием дляВ (х)?
В каком случае предикаты А (х) иВ (х) будут равносильны?
§ 6. Строение и виды теорем
Теорема– это высказывание, истинность которого устанавливается посредством рассуждения (доказательства).
С логической точки зрения теорема представляет собой высказывание вида АВ , гдеАиВ– предикаты с одной или несколькими переменными. ПредложениеАназываютусловиемтеоремы, а предложениеВ– еезаключением.
Рассмотрим теорему: «Если натуральное число делится на 2 и на 3, то оно делится на 6». Условие теоремы: «число делится на 2 и на 3», заключение теоремы: «число делится на 6». Условие и заключение теоремы представляют собой предикаты, заданные на множестве Хнатуральных чисел. Данное предложение истинно при всеххиз множестваХ, следовательно, запись теоремы будет следующей: (хХ)А(х)В (х).
Т.о. в записи теоремы можно выделить 3 части:
1) разъяснительную (хХ) – в ней описываются множества объектов, о которых идет речь в теореме;
2) условие теоремы: предикат А(х), заданный на множествеХ;
3) заключение теоремы: предикат В (х), заданный на множествеХ.
Для всякой теоремы вида (хХ)А(х)В (х) можно сформулировать предложения:
обратноеданному (хХ)В (х)А(х),
противоположноеданному (хХ)
,
обратное
противоположноеданному (хХ)
.
Заметим, что эти предложения не всегда является теоремами. Например, предложение, обратное для теоремы «если каждое слагаемое делится на данное число, то и сумма делится на данное число» будет ложным. Оно будет формулироваться так: «Если сумма делится на данное число, то и каждое слагаемое делится на данное число». Чтобы убедиться в том, что оно ложное, можно привести контрпример: 3 + 7 = 10. Сумма 10 делится на 5, но ни одно слагаемое на 5 не делится. Данные предложения будут теоремами только в том случае, если они истинны.
Пример. Рассмотрим предложение: «Если каждое слагаемое – четное число, то и сумма – четное число». В нашем примере предикатА (х): «каждое слагаемое – четное число»,В(х): «сумма – четное число». Данное предложение является истинным, поэтому его можно назвать теоремой.
Построим обратное предложение: «Если сумма – четное число, то и каждое слагаемое – четное число». Оно ложное, т.к. можно привести контрпример 8 = 5 + 3.
Противоположное предложение: «Если хотя бы одно из слагаемых – нечетное число, то и сумма – нечетное число. Оно также ложно (можно воспользоваться тем же контрпримером).
Обратное противоположному предложение: «Если сумма – нечетное число, то хотя бы одно слагаемое – нечетное число». Оно истинно, поэтому оно также является теоремой.
Заметим, что прямое и обратное противоположному предложения всегда имеют одинаковые значения истинности, т.к. имеется равносильность (АВ)(ВА), называемая законом контрапозиции. Из этого предложения также следует, что предложения, обратное данному и противоположное данному также имеют одинаковые значения истинности. Поэтому, рассматривая их, достаточно доказать (или опровергнуть) какое-нибудь одно, тем самым будет доказано (или опровергнуто) другое.
Если для данное теоремы А (х)В (х) существует обратнаяВ (х)А (х), то их можно соединить в однуА (х)В (х), в формулировке которой будут использоваться слова «необходимо и достаточно», «тогда и только тогда».
Заметим также, что если условие или заключение теоремы представляет собой конъюнкцию или дизъюнкцию, то, чтобы получить предложение, противоположное данному, нужно учитывать правила построения отрицания конъюнкции или дизъюнкции.