§ 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств

Определение. Если множества А и В имеют общие элементы, т.е. элементы, принадлежащие одновременно множествам А и В, то говорят, что эти множества пересекаются.

Например, множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 3, 5} пересекаются, т.к. имеют общий элемент 3.

На диаграмме пересекающиеся множества изображают следующим образом:

А В

Определение. Множества А и В не пересекаются, если не имеют общих элементов.

Множества А = {1, 2, 3, 4} и В = {0, 8, 5} не пересекаются.

Если множества не пересекаются, то их изображают следующим образом:

А В

Определение. Множества А и В называются равными, если они состоят из одних и тех же элементов. Обозначают: А = В.

Например, множества А = {1, 2, 3} и В = {2, 3, 1} равны, т.к. состоят из одинаковых элементов. Таким образом, множество не изменится, если переставить его элементы. С понятием равных множеств связано следующее положение: одно и то же множество может быть задано с помощью различных характеристических свойств.

Определение. Множество В называется подмножеством множества А, если каждый элемент множества В принадлежит множеству А (обозначают В  А).

Согласно данному определению, каждое множество является подмножеством самого себя. Кроме этого считают, что пустое множество есть подмножество любого множества. Само множество и пустое множество называют несобственными подмножествами; все остальные подмножества множества А, если они существуют, – собственные подмножества.

Например, множество А = {1, 2, 3} имеет шесть собственных подмножеств А₁ = {1}, А₂ = {2}, А₃ = {3}, А₄ = {1, 2}, А₅ = {1, 3}, А₆ = {2, 3} и два несобственных подмножества А₇ = {1, 2, 3} и А₈ = .

Доказано, что если множество состоит из п элементов, то у него 2^п различных подмножеств.

Если В  А и А  В, то А = В. Отсюда вытекает один из способов доказательства равенства множеств: если доказано, что любой элемент из множества А является элементом множества В и, в свою очередь, любой элемент из множества В является элементом множества А, то делают вывод, что А = В.

Часто случается, что все множества, рассматриваемые в задаче, являются подмножествами одного и того же множества. Такое множество называют универсальным (обозначают I).

Условимся изображать универсальное множество прямоугольником, а его подмножества – кругами в этом прямоугольнике.

Описанный способ изображения множеств носит названия кругов Эйлера или диаграмм Венна. Мы будем подобные изображения называть диаграммами Эйлера-Венна.

§ 4. Операции над множествами

Из элементов двух и более множеств можно образовывать новые множества.

1. Пересечение множеств.

Определение. Пересечением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множествам А и В одновременно (обозначают А  В).

Данное определение можно записать в таком виде:

А  В = {хх  А  х  В}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

Если множества А и В не имеют общих элементов, то говорят, что множества не пересекаются, и пишут А  В = .

Если элементы множеств А и В перечислены, то чтобы найти их пересечение, достаточно перечислить элементы, которые одновременно принадлежат множеству А и множеству В, т.е. их общие элементы.

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А  В = {4, 5}.

Если множества А и В заданы указанием их характеристических свойств, то в их пересечение войдут только те элементы, которые обладают одним и другим свойством одновременно.

Например, если множество А – множество однозначных чисел, В – множество натуральных чисел, делящихся на 5, то множеству А  В принадлежат натуральные числа, делящиеся на 5.

2. Объединение множеств.

Определение. Объединением множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат хотя бы одному из данных множеств (обозначают А  В).

Данное определение можно записать в таком виде:

А  В = {хх  А  х  В}.

На диаграмме пересечение множествА и В изображено заштрихованной областью.

А В

Пусть А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А  В = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}.

Рассмотрим случай, когда множества заданы указанием характеристического свойства. Пусть А – множество чисел, кратных 2; В – множество чисел, кратных 3. Тогда объединению этих множеств будут принадлежать числа, кратные 2 или 3.

Понятие пересечения и объединения множеств можно обобщить на любое конечное число множеств.

3. Разность множеств.

Определение. Разностью множеств А и В называется множество, содержащее те и только те элементы, которые принадлежат множеству А и не принадлежат множеству В (обозначают А \ В).

Данное определение можно записать так:

А \ В = {хх  А  х  В}.

На диаграмме пересечение множеств А и В изображено заштрихованной областью.

А В

Если А = {1, 2, 3, 4, 5}, В = {4, 5, 6, 7}, тогда А \ В = {1, 2, 3}.

Часто приходится выполнять вычитание множеств в случае, когда одно из множеств является подмножеством другого. Если В  А, то разность А \ В называют дополнением множества В до множества А (обозначают ).

Множество на рисунке показано штриховкой.

А

В

Определение. Дополнением множества А до универсального называется множество, состоящее из тех и только тех элементов, которые принадлежат универсальному, но не принадлежат множеству А (обозначают ).

Например, если I – множество цифр, а множество А = {1, 2, 3, 4, 5}, то = {6, 7, 8, 9, 0}.

Если множества заданы указанием характеристического свойства и В  А, то множество с помощью характеристического свойства, общий вид которого «х  А  х  В». Так, если А множество натуральных чисел, кратных 3, а В – множество натуральных чисел, кратных 9, то – это множество, содержащее натуральные числа, кратные 3, но не кратные 9.

Мы рассмотрели различные операции над множествами. Часто для доказательства равенства множеств бывает необходимо знать, в каком случае элемент принадлежит тому или иному множеству. Для удобства составим таблицу.

х Î А Ç В  х Î А Ù х Î В

х  А Ç В  х  А  х  В

х Î А  В  х Î А  х Î В

х  А  В  х  А Ù х  В

х Î А \ В  х Î А Ù х  В

х  А \ В  х  А  х Î В

х Î  х  А

х   х ÎА

Выясним, каков порядок выполнения действий над множествами.

Пересечение множеств – более «сильная» операция, чем объединение, поэтому в выражении А  В  С вначале нужно найти пересечение множеств В и С, а затем найти объединение множества А с полученным множеством.

Условились считать, что пересечение – более «сильная» операция, чем вычитание, поэтому в выражении А \ В  С сначала находят пересечение множеств В и С, а затем полученное множество вычитают из множества А.

Объединение и вычитание множеств считают равноправными, поэтому их выполняют в том порядке, в каком они записаны в выражении.