- •Курс лекций по математике
- •§ 2. Способы задания множеств
- •§ 3. Отношения между множествами. Графическая иллюстрация множеств
- •§ 4. Операции над множествами
- •§ 5. Законы операций над множествами
- •Контрольные вопросы
- •§ 6. Число элементов объединения двух и трех конечных множеств
- •§ 7. Понятие разбиения множества на классы
- •Контрольные вопросы
- •Глава 2. Математические предложения § 1. Высказывания и операции над ними. Равносильные высказывания
- •§ 2. Законы алгебры высказываний
- •Контрольные вопросы
- •§ 3. Предикаты и операции над ними
- •Контрольные вопросы
- •§ 4. Высказывания с кванторами и их отрицания
- •Контрольные вопросы
- •§ 5. Отношение следование и равносильности между предложениями. Необходимое и достаточное условие
- •Контрольные вопросы
- •§ 6. Строение и виды теорем
- •Контрольные вопросы
- •Глава 3. Математические понятия § 1. Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями
- •§ 2. Определение понятия. Требования к определению понятия
- •Контрольные вопросы
- •Глава 4. Математические доказательства § 1. Умозаключения и их виды
- •§ 2. Схемы дедуктивных умозаключений
- •§ 3. Проверка правильности умозаключений
- •§ 4. Способы математического доказательства
- •Контрольные вопросы
- •Глава 5. Соответствия §1. Упорядоченная пара. Декартово произведение двух множеств
- •§ 2. Соответствие между элементами множеств. Способы задания соответствий
- •§ 3. Взаимно однозначное соответствие
- •§ 4. Равномощные множества. Счетные и несчетные множества
- •Контрольные вопросы
- •§ 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций
- •§ 6. Виды функций
- •§ 7. Обратная функция
- •Контрольные вопросы
- •Глава 6. Отношения на множестве § 1. Понятие отношения. Способы задания отношений
- •§ 2. Свойства отношений
- •§ 3. Отношение эквивалентности. Связь отношения эквивалентности с разбиением множества на классы
- •§ 4. Отношение порядка. Упорядоченные множества
- •Контрольные вопросы
- •Глава 7. Выражения. Уравнения. Неравенства § 1. Числовое выражение и его значение
- •§ 2. Числовые равенства и их свойства
- •§ 3. Числовые неравенства и их свойства
- •§ 4. Выражение с переменной, его область определения. Тождество.
- •§ 5. Уравнения с одной переменной. Равносильные уравнения
- •Глава 1. Элементы теории множеств 2
Контрольные вопросы
Что называется высказывательной формой или предикатом?
Какие различают предикаты по числу входящих в них переменных? Приведите примеры.
Какое множество называют областью определения предиката?
Какое множество называют множеством истинности предиката?
Что называют конъюнкцией предикатов? Докажите равенство, связывающее область истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов.
Дайте определения дизъюнкции, отрицания, импликации предикатов. Запишите равенства, связывающие области истинности конъюнкции предикатов с областями истинности этих предикатов.
§ 4. Высказывания с кванторами и их отрицания
Если задан предикат, то, чтобы превратить его в высказывание, достаточно вместо каждой из переменных, входящих в предикат, подставить ее значение.
Например, если на множестве натуральных чисел задан предикат А(х): «х– четное число», то подставив вместо переменной число 4, получим истинное высказывание «4 – четное число», а, подставив вместо переменной число 5, получим ложное высказывание «5 – четное число».
Существуют и другие способы получения высказывания из предиката. Подставим перед этим предикатом слово «всякое», получим ложное предложение «Всякое натуральное число – четное». Если же перед предикатом подставим слово «некоторые», то получим истинное высказывание «Некоторые натуральные числа – четные».
Выражение «для всякого х» в логике называютквантором общности, обозначаютх. В математике наряду со словом «всякий» употребляют слова «все», «каждый», «любой».
Высказывание (хХ)А (х) выражает свойствавсехобъектов множестваХ.
Выражение «для некоторых х» ( «существуетх, такое, что …», «хотя бы один», «найдется») называютквантором существованияи обозначаютх.
Высказывание (хХ)А (х) выражает существование объектов из данного множества, обладающих определенными свойствами или находящимися в определенном отношении с другими объектами.
Таким образом, чтобы превратить предикат в высказывание, достаточно связать квантором общности или существования содержащиеся в нем переменные. Х.
Выясним, как установить значение истинности высказываний, содержащих кванторы.
Истинность высказываний с квантором общности устанавливается путем доказательства. Нужно убедиться в том, что при подстановке каждого из значений хв предикат последний обращается в истинное высказывание. Если множествоХ конечно, то это можно сделать путем перебора всех случаев; если жеХбесконечно, то необходимо провести рассуждение в общем виде. Чтобы убедиться в ложности таких высказываний (опровергнуть их), достаточно привести контрпример.
Истинность высказывания с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в ложности такого высказывания, необходимо провести доказательство.
Выясним, как построить отрицание высказываний, содержащих кванторы. Рассмотрим высказывание: «все натуральные числа – четные». Оно ложно. В этом легко убедиться, приведя контрпример: 5 не является четным числом. Можно перед данным предложением поставить слова «неверно, что». Тогда отрицанием высказывания: «все натуральные числа – четные» будет высказывание «неверно, что все натуральные числа – четные». Оно имеет тот же смысл, что и предложение «некоторые натуральные числа четными не являются».
Вообще если дано предложение (х)А (х), то его отрицанием будут предложенияи (х), имеющие один и тот же смысл.
Рассмотрим высказывание «некоторые однозначные числа делятся на 10». Оно ложно. Отрицанием данного высказывания будет высказывание «неверно, что некоторые однозначные числа делятся на 10», которое имеет тот же смысл, что и высказывание «все однозначные числа делятся на 10».
Вообще если дано предложение (х)А (х), то его отрицанием будут предложенияи (х), также имеющие один и тот же смысл.
Правило: для того чтобы построить отрицание высказывания с квантором общности (существования), достаточно заменить его квантором существования (общности) и построить отрицание предложения, стоящего после квантора.