§ 5. Определение числовой функции. Способы задания функций. Свойства функций

На рисунке дан граф соответствия между множествами Х = {а;b;с;d;е},Y = {1; 2; 3; 4; 5}. Данное соответствие таково, что не у каждого элемента множестваХесть соответствующий элемент множестваY, но если есть, то он единственный.

А= {а;b;с} – множество тех элементов, для которых есть соответствующий элемент в множествеY. Заметим, что каждому элементу множестваАсоответствует единственный элемент множестваY.

Определение. Соответствие между множествамиХ иY, где каждому элементу множестваХ соответствует не более одного элемента множестваY, называетсяфункциональнымсоответствиемилифункцией.

Функции обозначают буквами латинского алфавита f,g,hи др. и пишут:у=f(х).

х– независимая переменная или аргумент, все значения, которые принимает независимая переменная – область определения функции.

Пусть дана функция fс областью определенияАХ, гдеХ– множество отправления функцииf. Множество прибытия обозначимY.

Элемент у Y, соответствующий элементух А, называют значением функцииf и пишуту=f(х).

Определение.Множество всеху Y, которые являются значениями функцииf, называютмножеством значенийфункцииf.

Если функция задана формулой и ее область определения не указана, то считают, что область определения функции состоит из всех значений аргумента, при которых формула имеет смысл.

Пример. Пусть дана функцияf(х) =. Областью определения функцииf(х) является множествоR \ {2}.

Способы задания функций

1. Аналитическоезадание функции – задание функции с помощью формулыу=f(х), гдеf(х) – некоторое выражение в переменнойх.

2. Табличноезадание функции – приводится таблица, указывающая значение функции для имеющихся в таблице значениях аргумента. Этот способ часто используется на практике, когда зависимость одной величины от другой находят опытным путем; оказывается удобным, т.к. позволяет найти значение функции для имеющихся в таблице значений аргумента без вычислений.

3. Графическоезадание функции. Графиком функции называют множество всех точек координатной плоскости, абсциссы которых равны значениям аргумента, а ординаты – соответствующим значениям функции.

Свойства функций

Четные и нечетные функции

Определение. Функцияу=f(х) называетсячетной, если для любого элементахиз области определения функции выполняется равенство f(–х) = f(х).

Определение. Функцияу=f(х) называетсянечетной, если для любого элементахиз области определения функции выполняется равенство f(–х) = – f(х).

Из определений следует, что область определения Х как четной, так и нечетной функции должна обладать следующим свойством: еслихХ, то – хХ.

График четной функции симметричен относительно оси ординат, а график нечетной функции симметричен относительно начала координат.

Возрастающие и убывающие функции

Определение. Функцияу=f(х) называетсявозрастающейна промежуткеХ, еслих₁,х₂Х, таких, чтох₁ <х₂, выполняется неравенствоf(х₁) < f(х₂).

Определение. Функцияу=f(х) называетсяубывающейна промежуткеХ, еслих₁,х₂Х, таких, чтох₁ <х₂, выполняется неравенствоf(х₁) > f(х₂).

Определение. Функция называетсямонотоннойна некотором промежуткеА, если она на этом промежутке возрастает или убывает.