3.4.2. Математическая модель в пространстве состояний

Модели в пространстве состояний – это те, которые описывают не только отображение системой входного сигнала, но и ее внутреннюю структуру.

Для этого удобно использовать единую математическую характеристику – переменную состояния.

Начиная с 60-х годов XX столетия все более популярной становилась форма описания систем управления в пространстве состояний, когда исходные соотношения, описывающие объект управления, представлены в форме Коши, или, что то же самое, в виде системы дифференциальных или разностных уравнений первого порядка.

Состояние системы является основным исходным понятием.

В большинстве практических приложений объекты управления описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями или разностными уравнениями разных порядков, которые легко сводятся к системе дифференциальных или разностных уравнений первого порядка

(3.1)

Здесь вектор X характеризует состояние системы, а вектор U описывает внешние воздействия. Через t и n обозначены переменные непрерывного и дискретного времени соответственно. Компонентами вектора состояния X могут быть физические величины.

Вектор X(0) представляет собой минимальный набор величин (x₁(0), x₂(0),…, x_n(0))^Т однозначно характеризующий рассматриваемый объект в данный момент времени t₀ и позволяющий при известных входных воздействиях U(t), t[t₀, t_k] получить такой же набор X(t) для любого момента времени в интервале t[t₀, t_k].

При изменении времени конец вектора состояния описывает в пространстве состояний кривую, называемую траекторией вектора состояния.

Выходные координаты описываемого объекта Y(t), Y(n) могут отличаться от координат вектора состояния и связаны с последним некоторым отображением

(3.2)

Число выходных координат объекта обычно много меньше размерности вектора состояния. Поэтому описание в пространстве состояний называют внутренним описанием в отличие от внешнего описания в переменных “вход-выход”.

3.4.3. Описание линейных систем в пространстве состояний

Уравнение (3.1) для случая линейной непрерывной системы можно свести к следующим стандартным уравнением состояния

, (3.3)

где X(t) – вектор состояния системы;

U(t) - вектор управления (входа);

Y(t) - вектор выхода (наблюдения) системы.

- матрица состояния;

- матрица входа (управления);

и D - матрицы выходных координат (матрицы наблюдения).

В общем случае размерности векторов и матриц при описании в пространстве состояний таковы:

, ,,,,. (3.4)

Уравнениям (3.3) отвечает структурная схема на рисунке 3.6

Вместо (3.3) используется также сокращенное обозначение (A, B, C, D).

Матрицы в общем случае A, B, C, D зависят от времени. В этом случае система называется нестационарной.

В стационарных системах A, B, C, D – постоянные, не зависящие от времени матрицы.

Модель (3.3) является одной из распространенных моделей САУ при описании их поведения в пространстве состояний (понятия модель в пространстве состояний и модель в переменных состояния идентичны).

Уравнения состояния дискретных систем принципиально не отличаются от приведенных выше (3.3), в них вместо производных фигурируют конечные разности. Соответствующие уравнения идентичны приведенным выше, в них лишь дифференциалы должны быть заменены на разности.

Пример 1.

Поясним введенные понятия на примере САУ второго порядка с уравнением

, (3.5)

где - выходная величина системы,- входное воздействие.

Представим уравнение (3.5) в нормальной форме Коши. С этой целью разрешим его относительно старшей производной выходной величины, что приводит к результату

. (3.6)

Введём некоторый вектор с компонентами,(Т - символ транспонирования). Введем также векторс компонентойи векторс компонентойи перепишем уравнение (3.6) с учетом введенных обозначений (при этом)

. (3.7)

Кроме того, очевидно, что . Таким образом, можно записать систему в форме Коши

(3.8)

Если ввести матрицы

, ,, (3.9)

то вместо исходного уравнения (3.5) можно записать следующую векторно-матричную модель САУ:

(3.10)