4.3. Формы описания динамических свойств объектов

Динамические свойства объектов в общем случае можно описать математическими выражениями следующего вида:

1) дифференциальными уравнениями

,

где , …,,, …,- постоянные коэффициенты,m ≤ n;

- постоянная положительная величина, называемая временем запаздывания;

- входная величина;

- выходная величина,

2) передаточной функцией

,

где - комплексная переменная;

- вещественная переменная;

- угловая частота;

- мнимая единица;

- преобразования Лапласа;

3) амплитудно-фазовой характеристикой (АФХ)

,

где ,- преобразования Фурье переменныхи;

, - аналитические выражения вещественных и мнимых частей комплексной функции;

, - амплитудно-частотная и фазо-частотная характеристики - АЧХ и ФЧХ:

- модули (спектры) преобразований Фурье,.

Между перечисленными динамическими характеристиками существует однозначная связь.

Взаимосвязь между различного рода динамическими характеристиками изображена на рисунке4.10, там же указаны способы определения уравнений динамики

4.4. Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников

Итак, подошли к реализации передаточных функций объектов, проделав последовательность

Эксперимент передаточная функцияпоследовательное соединение различных динамических звеньев.

При синтезе объектов с требуемыми динамическими характеристиками возникает задача реализации их передаточных функций пассивными или активными четырехполюсниками постоянного тока.

Последние содержат пассивные двухполюсники.

Пассивные двухполюсники и четырехполюсники постоянного тока – это электрические цепи из резисторов (активных сопротивлений), конденсаторов и индуктивностей.

Рассмотрим некоторые методы определения [11] электрических схем и параметров двухполюсников и четырехполюсников, состоящих из резисторов и конденсаторов, по передаточным функциям, которые они должны иметь.

Любая передаточная функция может быть реализована пассивным двухполюсником или четырехполюсником из резисторов и конденсаторов с точностью до постоянного множителя.

4.3.1. Разложение передаточной функции активного четырехполюсника

Схема активного четырехполюсника представлена на рисунке 4.11.

Такие четырехполюсники состоят из электронных усилителей и цепей из резисторов, конденсаторов и индуктивностей.

В общем случае четырехполюсник содержит входную цепь с импедансом и цепь симпедансом , которая охватывает усилитель с отрицательной обратной связью.

Обычно используют операционный усилитель с весьма большим передаточным коэффициентом. Тогда передаточная функция четырехполюсника определяется выражением

. (4.18)

Для синтеза двухполюсника активного четырехполюсника передаточную функцию , которую он должен иметь, нужно представить в соответствии с выражением (4.18) в виде отношения

,

где - операторные выражения полного сопротивления двухполюсника прямой о обратной цепи соответственно.

Полное сопротивление может быть реализовано в видеRC–двухполюсника только если оно удовлетворяет следующим условиям:

а) функция- рациональная дробь, у которой степень числителя равна или на единицу меньше степени знаменателя;

б) полюсы (корни полинома знаменателя) и нули (корни полинома числителя) функция- простые, действительные, отрицательные и перемежаются между собой, т. е. между двумя соседними полюсами находится нуль и наоборот;

в) наименьшим по абсолютному значению является полюс, он может равняться нулю;

г) наибольшим по абсолютному значению является нуль; он конечен, если степень числителя функции равна степени знаменателя.

В ряде случаев реализуемые значения удается составить по формулам

,

где - полиномы соответственно числителя и знаменателя функции.

Полином выбирают так, чтобыудовлетворяли условиям реализуемости, он может содержать, в частности, двучлены из полиномов.