3.5.4. Методика составления уравнений динамики элементов сау

При составлении уравнений поступают следующим образом.

1. Устанавливаются физические законы, лежащие в основе работы элементов системы. Это могут быть закон сохранения энергии, массы, импульса и др.

2. Математическое выражение соответствующего закона является исходным дифференциальным уравнением динамики рассматриваемого элемента.

3. Записываются уравнения статики или невозмущенного движения элемента, что соответствует установившемуся режиму работы элемента, который характеризуется определенными начальными значениями входного и выходного параметра.

4. Производится вычитание из уравнения динамики уравнений статики. Получается уравнение динамики в приращениях.

При составлении уравнений часто используется форма записи дифференциальных уравнений в относительных единицах (после вычитания - после процедуры по пункту 4 из приведенного выше перечня процедур). Для получения такой формы записи необходимо разделить все члены дифференциального уравнения на некоторую постоянную величину, имеющую размерность членов этого уравнения. В качестве такой постоянной величины принимают либо минимальное, либо номинальное, либо максимальное значение этой величины.

Пример.

Составить уравнение динамики электрического двигателя (очень часто является одним из исполнительных элементов САУ) в абсолютных и относительных единицах.

Из общих законов механики - из теоремы о моменте количества движения – имеем:

, (3.30)

где - момент количества движения;

- главный момент внешних сил.

Приведенному уравнению соответствует уравнение:

, (3.31)

где I – момент инерции;

- угловая скорость вала двигателя;

- движущий момент и момент сопротивления.

При этом:

- движущий момент

(3.32)

является функцией угловой скорости и положения регулирующего скорость вращения органа – элемента;

- момент сопротивления

(3.33)

есть функция от угловой скорости и постоянной составляющей момента.

В равновесном (в статическом) режиме имеем

, (3.34)

откуда

. (3.35)

Уравнение (3.31) – нелинейное. Линеаризуем его. Для этого в (3.31) функции

и заменяем разложением в ряд Тейлора в окрестности значений аргументаипо степеням малых отклонений, а полные переменныепредставим как сумму из номинальных значений и приращений:

.

В результате имеем:

(3.36)

Пренебрегая членами, содержащими малые отклонения в степени, выше первой, а также произведениями малых отклонений (эти члены являются бесконечно малыми второго и более высоких порядков) и принимая во внимание (3.34) и (3.35) последнее уравнение после введения обозначений

можно записать в виде

.

Обычно

.

Отсюда .

Тогда, введя дополнительное обозначение , уравнение электродвигателя для малых отклонений можно записать в следующем виде:

(3.37)

Получили линейное уравнение с постоянными коэффициентами.

Опуская знак приращения, после элементарных преобразований приходим к уравнению:

,

что представляет собой уравнение апериодического звена, весьма часто встречающегося в системах управления.

3.6. Математические модели системы управления. Понятие об оптимальном управлении

Реальные физические процессы, да и не только физические (экономические, социальные, медицинские и т.д.) являются управляемыми.

Типовая схема, отражающая информационное взаимодействие ее составляющих, может быть изображена следующей схемой (рис. 3.17).

Дадим характеристики основных элементов постановки задачи оптимальной динамической системы.

1. Модель управляемого объекта описывается с помощью, например, обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений с частными производными и т.д.

Состояние модели может задаваться, например, вектором, объединяющим характерные изменяющиеся параметры объекта или функцией, описывающей поведение модели в пространстве и времени

2. Краевые (начальные и конечные) условия могут описываться множествами возможных значений.

3. Внешние воздействия. Как правило, описываются статистическими характеристиками или множеством возможных значений.

4. Интервал времени функционирования может быть задан конечным или полубесконечным, случайным, подлежащим наилучшему выбору и т.д.

5. Ограничения на состояние и управление. Они обычно задаются с помощью описания множества их допустимых значений.

6. Модель измерительной системы описывается функциями или операторами состояния. Входом модели является состояние, выходом – значения измерений.

7. Погрешности измерений описываются статистическими характеристиками или множествами возможных значений.

8. Алгоритм управления (определение характера использования информации об изменениях, способа выработки и приложения управляющих воздействий). Алгоритм управления вырабатывает управляющее воздействие по получаемой информации об измерениях. Таким образом, при построении систем управления предполагается принцип обратной связи.

9. Цель управления.

Она сводится к проблеме поиска наилучшего по некоторому критерию управления, называемого оптимальным.

Например, достижение поставленной цели за наименьшее время с минимальными энергетическими затратами с наилучшей точностью.

Математически описывается некоторым критерием качества и отражает требования, предъявляемые проектировщиком к системе (оптимальной, т.е. наилучшей с точки зрения выбранного критерия).

Схема, изображенная на рисунке, отражает процесс управления объектом при неполной информации, т.к. управление строится на основе информации об изменениях при наличии погрешностей.

В общем случае управляющее воздействие формируется на основе всей накапливаемой информации об изменениях.

Частным случаем таких систем являются системы без накопления информации, где при выработке управляющего воздействия используются только текущие (мгновенные) значения измерений, а информация о предыдущих измерениях не учитывается.

Наиболее простым является случай, когда информация о векторе состояния отсутствует. При этом система управления будет разомкнутой и ищется так называемое программное управление.