- •Министерство образования и науки Российской Федерации
- •Содержание
- •Введение
- •1. Современное состояние проблемы моделирования систем
- •1.1. Моделирование как метод научного познания. Философские аспекты моделирования
- •1.2. Использование моделирования при исследовании и проектировании систем
- •1.2.1. Особенности разработки систем
- •1.2.2. Особенности использования моделей
- •1.2.3. Перспективы развития методов и средств моделирования систем
- •2. Основные понятия теории моделирования систем
- •2.1. Принцип системного подхода в моделировании систем
- •2.1.1. Структура системы – совокупность связей между элементами системы
- •2.1.2. Экспериментальные исследования систем
- •2.2. Стадии разработки моделей
- •2.3. Понятие подобия
- •2.3.1. Общие положения
- •2.3.2. Основные понятия теории размерности
- •2.3.3. Примеры подобия
- •2.4. Общая характеристика проблемы моделирования систем
- •2.4.1. Объект моделирования.
- •2.4.2. Характеристики моделей систем
- •2.4.3. Цели моделирования систем
- •2.5. Классификация видов и методов моделирования систем
- •2.5.1. Классификационные признаки
- •2.5.2. Математическое моделирование.
- •2.6. Построение модели
- •2.7. Разработка вычислительного метода
- •2.8. Проверка (тестирование) модели
- •3. Математическое моделирование
- •3.1. Задачи и цели исследования математических моделей
- •3.2. Методология математического моделирования. Системный анализ
- •3.2.1. Понятие системы
- •3.2.2. Этапы системного анализа и декомпозиция
- •3.2.3. Экспертные оценки
- •3.3. Классификация математических моделей
- •3.4. Методы формализованного описания системы
- •3.4.1. Математическая модель по “входу-выходу”
- •3.4.2. Математическая модель в пространстве состояний
- •3.4.3. Описание линейных систем в пространстве состояний
- •3.4.4. Реализация систем в пространстве состояний
- •3.5. Методы построения математических моделей и их применение в сапр
- •3.5.1. Методы построения математических моделей
- •3.5.2. Математические модели с точки зрения сапр
- •3.5.4. Методика составления уравнений динамики элементов сау
- •3.6. Математические модели системы управления. Понятие об оптимальном управлении
- •4. Экспериментальное определение динамических характеристик объектов моделирования
- •4.1. Понятие о динамических характеристиках объектов
- •4.2. Определение динамических характеристик элементов систем по временным характеристикам
- •4.2.1. Определение статических характеристик
- •4.2.2. Определение динамических характеристик объектов с помощью периодических воздействий
- •4.4.1. Временные характеристики и их свойства
- •4.4.2. Определение характеристик апериодического звена
- •4.4.3. Определение характеристик колебательного звена
- •4.3. Формы описания динамических свойств объектов
- •4.4. Синтез пассивных двухполюсников и четырехполюсников
- •4.3.1. Разложение передаточной функции активного четырехполюсника
- •4.3.2. Способы синтеза двухполюсников
- •4.5. Экспериментальная отработка характеристик системы управления движущимся объектом
- •4.5.1. Общие положения
- •4.5.2. Алгоритмы обработки внешнетраекторных измерений
- •5. Динамические свойства воспринимающих элементов и датчиков
- •5.1. Основные определения и понятия
- •5.1.1. Понятие датчика
- •5.1.2. Классификация датчиков
- •5.2. Основные характеристики датчиков
- •5.2.1. Погрешности измерений
- •5.2.2. Чувствительность датчиков
- •5.2.3. Быстродействие датчика
- •5.3. Схемы формирования сигналов пассивных датчиков
- •5.3.1. Общие характеристики
- •5.4. Оптические датчики
- •5.4.1. Определения и основные зависимости
- •5.4.2. Фоторезисторы
- •5.4.3. Фотодиоды
- •5.4.4. Тепловые приемники излучения
- •5.4.5. Датчики изображения
- •5.4.6. Волоконная оптика
- •5.5. Датчики температуры
- •5.5.1. Методы измерения температуры
- •5.6. Датчики положения и перемещения
- •5.6.1. Методы определения положения и перемещения
- •5.6.2. Резисторные потенциометры
- •5.6.3. Индуктивные датчики
- •5.6.4. Емкостные датчики
- •5.6.5. Цифровые датчики
- •5.6.6. Датчики близости
- •5.7. Датчики деформации
- •5.7.1. Основные определения
- •5.7.2. Основные положения
- •5.8. Тахометрические датчики
- •5.8.1. Электродинамическая тахометрия
- •5.8.2. Импульсная тахометрия
- •5.8.3. Гирометры
- •5.9. Датчики ускорения, вибрации и удара
- •5.9.1. Общие положения
- •5.9.2. Принцип действия сейсмических датчиков
- •5.10. Датчики скорости, расхода и уровня жидкости
- •5.10.1. Элементарные понятия
- •5.10.2 Датчики и методы измерения скорости жидкости
- •5.10.3. Измерение расхода жидкости
- •5.10.4. Измерение и указание уровня жидкости
- •5.11. Датчики влажности
- •5.11.1. Определения
- •5.11.2. Гигрометры
- •5.12. Акустические датчики
- •5.12.1. Распространение плоской волны
- •5.12.2. Распространение трехмерной волны
- •5.12.3. Микрофоны
- •5.12.4. Измерение интенсивности
- •6. Основы технологии имитационного моделирования
- •6.1. Основные определения и понятия
- •6.2. Область применения и классификация имитационных моделей
- •6.3. Описание поведения системы
- •6.3.1. Общие положения.
- •6.3.2. Методика моделирования случайных факторов
- •6.3.3. Два подхода к моделированию случайных чисел
- •6.4. Оценка качества псевдослучайных чисел
- •6.5. Оценка качества имитационного моделирования
- •7. Методы испытаний систем управления и их применение в системах автоматизированного проектирования (сапр)
- •7.1. Полунатурное моделирование
- •7.1.1. Общие положения
- •7.1.2. Автоматизация испытаний на основе полунатурного моделирования
- •8. Анализ систем управления с эвм
- •8.1. Основные задачи
- •8.2. Особенности систем управления с эвм
- •8.2. Основные положения из теории дискретных линейных систем
- •8.2.1. Последовательности
- •8.2.2. Линейные системы с постоянными параметрами
- •8.2.3. Разностные уравнения
- •8.2.3.1. Решение разностных уравнений методом прямой подстановки
- •8.3. Расчет цифровых фильтров по фильтрам непрерывного времени
- •8.3.1 Методика синтеза цифровых фильтров. Общие положения
- •8.3.2 Методы дискретизации аналоговых фильтров
- •8.3.3. Геометрическая интерпретация методов расчета цифровых фильтров по фильтрам непрерывного времени
- •9. Моделирование свойств объектов с помощью системыMatLab
- •9.1. Введение
- •9.2. MatLab как научный калькулятор
- •9.2.1. Командное окно
- •9.2.2. Операции с числами
- •9.2.3. Простейшие операции с векторами и матрицами
- •9.2.4. Некоторые функции прикладной численной математики
- •9.2.5. Построение простейших графиков
- •9.3. Исследование линейных стационарных систем (лсс)
- •9.3.1. Классы пакета control.L
- •9.3.2. Ввод и преобразование моделей
- •Пример создания модели
- •9.3.3. Анализ системы
- •9.4. Моделирование динамических процессов с помощью подсистемы MatLab simulink
- •9.4.1. Краткие сведения о подсистеме MatLab simulink
- •9.4.2. Запуск подсистемы simulink
- •9.4.3. Создание модели
- •9.4.4. Некоторые основные приемы подготовки и редактирования модели
- •9.4.5. Установка параметров моделирования и его выполнение
- •9.2.2. Результат составления модели
- •Приложения п1. Динамические характеристики объектов моделирования
- •П2. Примеры составление функциональной и структурной схемы динамической системы
- •П2.1. Система управления угловой скорости вращения ротора двигателя при условии действия постоянного возмущения
- •П2.2. Система сопровождения цели
- •П2.3. Система автоматического наведения летательного аппарата на объект
- •П2.4. Система управления уровнем жидкости
- •П2.5. Система управления экономическими параметрами
- •Использованные источники
- •Основы теории и практики моделирования динамических систем
8.2.3. Разностные уравнения
В общем случае линейное разностное уравнение порядка M с постоянными коэффициентами имеет вид
, (8.16)
где описывают конкретную систему, причем.
8.2.3.1. Решение разностных уравнений методом прямой подстановки
Уравнение (8.16) записано в виде, удобном для решения методом прямой подстановки. Имея набор начальных условий (например, дляi=-1, -2, …, -M) и входную последовательность по формуле (8.16)т можно непосредственно вычислить выходную последовательностьдля.
Пример.
Дана последовательность
Разностное уравнение имеет вид
(8.17)
с начальными условиями.
Данное уравнение можно решить подстановкой, что дает:
8.2.3.2. Решение разностных уравнений в явном виде
Хотя решение разностного уравнения подстановкой и целесообразно в некоторых случаях, значительно полезнее получить решения в явном виде.
Основная идея сводится к получению двух решений разностного уравнения: однородного и частного.
Однородное уравнение получается путем подстановки нулей вместо всех членов, содержащих элементы входной последовательности и определение отклика при нулевой входной последовательности.
Частное решение получается из подбора вида последовательности навыходе при заданной входной последовательности . Для определения произвольных постоянных однородного решения используются начальные условия.
Пример.
Решить уравнение (8.17) этим методом.
Однородное уравнение имеет вид
(8.18)
Известно, что характеристическими решениями однородных уравнений, соответствующих линейным разностным уравнениям с постоянными коэффициентами, является решение вида . Поэтому, подставляя вместов (8.18),получим
Отсюда однородное решение имеет вид
. (8.19)
Частное решение, соответствующее входной последовательности , попробуем найти в виде
. (8.20)
Из уравнения (8.16) получаем
.
Поскольку коэффициенты при равных степенях в левой и правой частях уравнения должны совпадать, то из получаемой системы (трех уравнений) находим три искомых коэффициента:.
Таким образом, общее решение имеет вид:
, (8.21)
В этом выражении коэффициент находится из начального условия.
Тогда из (8.21) получим
(8.22)
Проверка решения (8.22) при показывает полное совпадение с приведенным выше прямым решением.
Преимущество решения (8.22) заключается в том, что оно позволяет весьма просто определить для любого конкретного.
8.2.3.3. Схемы реализации цифровых систем
Важное значение разностных уравнений состоит в том, что они непосредственно определяют способ построения цифровой системы.
Так, разностное уравнение первого порядка самого общего вида
(8.23)
можно реализовать с помощью схемы
Блок “задержки” осуществляет задержку сигнала на один отсчет.
Разностное уравнение второго порядка самого общего вида
(8.24)
может быть реализовано при помощи схемы, приведенной на рисунке 8.4.
Системы первого и второго порядка могут быть использованы при реализации систем более высокого поряджка, т.к. последние могут быть представлены в виде последовательного или параллельного соединения систем первого и второго порядка.
8.2.4. Z – преобразование
Одним из методов представления последовательностей является Z-преобразование.
Для последовательности , заданной при всех,Z-преобразование определяется следующим степенным рядом
. (8.25)
где - комплексная переменная.
8.2.4. 1. Последовательности конечной длины
Если отлична от нуля только в интервале, где-конечны, то сходится в- плоскости везде, за исключением, может быть, точкиили.
Линейную систему с постоянными параметрами, импульсная характеристика которой является последовательностью конечной длины, называют системой с конечной импульсной характеристикой, или, что то же самое, КИХ-фильтром.
Типичная импульсная характеристикаконечной длины изображена на рисунке 8.5.
Системой (фильтром) с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ) называется система (фильтр), длина импульсной характеристики которой не ограничена слева или справаили с обеих сторон.
8.2.4. 2. Примеры Z-преобразования.
Найти Z-преобразование единичного импульса.
Решение.
Так как при любых, кроме, при котором, то согласно (8.25) имеем
. (8.26)
Найти Z-преобразование единичного скачка.
Так как везде, кроме, где, то из (8.25) получим
. (8.27)
Бесконечный ряд сходится при , т.к.имеет единственную особую точку.
(Примечание. Результат (8.27) вытекает из формулы суммы геометрической прогрессии
).
Найти Z-преобразование комплексной экспоненты.
. (8.28)
сходится при , т.к. единственной особой точкой является.
Найти Z-преобразование простой экспоненциальной последовательности.
В этом случае приипри.
Тогда согласно (8.25) получаем
. (8.29)
сходится при , т.к. единственной особой точкой является.
8.2.4. 3. Свойства Z – преобразования
Линейность.
Z – преобразование линейно.
Пусть - z – преобразования последовательностей .
Тогда справедливо
. (8.30)
Задержка.
Если ,
то
. (8.31)
Это свойство полезно при переходе от представления линейной системы с постоянными переменными к представлению ее z – преобразованием и наоборот.
Пример.
Пусть имеется разностное уравнение
.
Представим его в виде z – преобразования
или
,
где
Свертка последовательностей
Пусть входные и выходные последовательности дискретной линейной системы с постоянными параметрами,- импульсная характеристика системы,- их соответствующиеz – преобразования.
Тогда имеет место
, (8.32)
или
Как следует из рассмотрения (8.32), операция свертки последовательностей сводится к перемножению их z – преобразований.
8.2.4.4. Решение разностных уравнений с применением одностороннего z – преобразования
Разностные уравнения обычно определены при и имеют набор начальных условий.
Разностное уравнение первого порядка
, (8.33)
начальное условие .
Пусть на вход поступает последовательность
.
Чтобы найти одностороннее z – преобразование, умножим обе части равенства (8.33) на и просуммируем отдо
.
Из свойства задержки
.
Отсюда
.
Поскольку
,
то
.
Разложив второе слагаемое на простые дроби, получим
.
Обратное z – преобразование дает последовательность – решение разностного уравнения