2.3.2. Основные понятия теории размерности
Размерные и безразмерные величины
Величины, числовые значения которых зависят от принятых масштабов, т.е. от системы единиц измерения, называются размерными величинами.
Величины, числовые значения которых не зависят от системы единиц измерения, называются безразмерными величинами.
Примеры:
- длина, время, сила, энергия, момент силы и т.д. – размерные величины;
- углы, отношение двух длин, отношение квадратов длины к площади, отношение энергии к моменту силы и т.п. - безразмерные величины.
Основные и производные единицы измерения
Различные физические величины связаны между собой определенными соотношениями.
Поэтому если некоторые из этих величин принять за основные и установить для них какие – то единицы измерения, то единицы измерения всех остальных величин будут определенным образом выражаться через единицы измерения основных величин.
Принятые для основных величин единицы измерения называются основными, а все остальные – производными.
На практике достаточно установить единицы измерения для 3 (трех) величин, каких именно – зависит от конкретных условий задачи.
Так в физических исследованиях удобны единицы:
- длины;
- времени;
- массы;
в технике:
- длина;
- время;
- сила.
В системе СИ (с 1963 г. в СССР) за основные величины приняты:
- механические единицы измерения: - метр;
- килограмм;
- секунда;
- единицы силы тока - ампер;
- единица термодинамической температуры – кельвин (К);
- силы света – кандела;
- количества вещества - моль.
После установления основных единиц измерения единицы измерения для других механических величин получаются автоматически.
Выражение производной единицы измерения через основные единицы измерения называется размерностью.
Критерии подобия можно получить из теории размерности.
Размерность данной физической величины определяется соотношением между нею и теми физическими величинами, которые приняты за основные.
В каждой системе единиц имеются свои основные единицы.
Размерность производных единиц принимается на основе физических законов, устанавливающих связь между этими единицами. Эта связь может быть представлена в виде формулы, называемой формулой размерности.
Таблица. Символы единиц измерения и формулы размерности
|
Единицы измерения |
Формулы размерности (символы и выражения) |
Примечания |
|
Длина |
L |
Основные единицы |
|
Масса |
M | |
|
Время |
T | |
|
Площадь |
S = L2 |
Производные |
|
Скорость |
V = L/T | |
|
Сила |
F = ML/T2 |
Для обозначения размерности какой-либо величины а используется символ [а].
Например, для размерности силы F в физической системе обозначают:
[F] = ML/T2.
Теория размерности основана на двух положениях:
1). Отношение двух численных значений какой-нибудь производной величины не зависит от выбора масштабов для основных единиц измерения. (Например, отношение двух площадей не зависит от того, в каких единицах будут измеряться площади).
2). Всякое соотношение между размерными величинами можно сформулировать как соотношение между безразмерными величинами (это положение в теории размерности называют П-теоремой).
Из первого положения следует, что формулы размерности должны иметь вид степенных одночленов, т.е.
,
где
,
,
- размерности основных единиц.
Пример.
Установить зависимость коэффициента лобового сопротивления тела, обтекаемого газовым потоком (воздухом) сx от основных показателей, входящего в выражение
.
Допустим, что сx зависит от размерных величин:
- плотности газа;
- вязкости газа;
- скорости полета;
- линейного размера
тела.
Тогда справедливо:
.
Пользуясь формулой размерности, можно найти безразмерные комбинации указанных физических величин, представив их размерности степенным одночленом
.
Для нахождения показателей a, d, c, n подставим в эту формулу значения размерностей физических величин, например, в системе СИ.
Тогда
Подставив эти величины в степенной одночлен, получим
.
Отсюда относительно основных единиц измерения имеем три следующих уравнения:
Решим эти уравнения, считая один из показателей, например, n, известным. Получим
.
Следовательно, коэффициент сx при малых скоростях зависит от числа Re. Показатель степени Re можно найти из эксперимента или каких-либо дополнительных данных о механизме сопротивления тела.
По теории подобия в подобных газовых потоках одинаковы аэродинамические коэффициенты. В частности, для полной аэродинамической силы R при полном подобии имеет место
.
Проведя эксперимент, в подобных условиях, результаты моделирования можно переносить на натуру. Поскольку полное подобие практически неосуществимо, то аэродинамические характеристики, определенные в лабораторных условиях, лишь приближенно равны соответствующим характеристикам объекта.
Очевидно, что наиболее достоверные результаты могут дать лишь натурные испытания.
В большинстве случаев моделирование основано на рассмотрении физически подобных явлений.
Механическое или вообще физическое подобие можно рассматривать как обобщение геометрического подобия.
Как известно еще из курса школьной программы по математике, две геометрические фигуры подобны, если отношения всех соответствующих длин одинаковы.
При этом если известен коэффициент подобия (масштаб), то простым умножением на масштаб размеров одной геометрической фигуры получаются размеры другой, ей подобной геометрической фигуры.
Существуют различные способы определения механического или физического подобия.
Два явления подобны, если по заданным характеристикам одного можно получить характеристики другого простым пересчетом, который аналогичен переходу от одной системы к другой.
При этом для осуществления пересчета необходимо знать всего лишь переходные масштабы.
Числовые характеристики для двух различных, но подобных явлений можно рассматривать как числовые характеристики одного и того же явления, выраженные в различной системе единиц измерения.
Для всякой совокупности подобных явлений все безразмерные характеристики (безразмерные комбинации из размерных величин) имеют одинаковые числовые значения. Эти комбинации называются критериями подобия.
Обратное заключение также справедливо: если все безразмерные характеристики для двух движений (явлений) одинаковы, то движения (явления) подобны.
Таким образом, необходимым и достаточным условием подобия двух явлений будет постоянство числовых значений безразмерных комбинаций, образующих базу, т.е. систему безразмерных величин, которые определяют собой все остальные величины.