- •Высшая математика
- •Часть 3
- •Составители: ст.Преп. Елена Николаевна Бесперстова
- •Рабочая программа
- •Рекомендуемая литература
- •Контрольная работа №7.
- •4.1-4.30.
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 7
- •1. Неопределенный интеграл
- •2. Основные методы интегрирования
- •3. Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •5. Интегрирование тригонометрических функций
- •6. Определенный интеграл
- •7. Несобственные интегралы.
- •8. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Контрольная работа №8 Дифференциальные уравнения
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы №8
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные уравнения первого порядка.
- •3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •4. Линейные уравнения второго порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Контрольная работа №9
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 9
- •1. Кратные и криволинейные интегралы
- •2. Вычисление двойных интегралов
- •3. Вычисление тройных интегралов
- •4. Вычисление криволинейных интегралов
5. Системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим нормальную систему дифференциальных уравнений вида
,
где ,— неизвестные функции от аргумента. В общем случае такая система решается методом исключения неизвестных.
Частным случаем систем дифференциальных уравнений, наиболее часто встречающихся в практике, являются системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами вида:
.
Здесь, аргументом является переменная , а и - неизвестные функции этой переменной. Одним из методов решения такой системы является метод характеристического уравнения, суть которого состоит в том, что неизвестные функции находятся в виде ,. Таким образом, задача сводится к нахождению . Как это делается, покажем на примере.
Пример 9. Найти общее решение системы .
Решение. Пусть ,, подставим эти значения в систему:
.
Получим линейную систему уравнений относительно . Чтобы эта система имела ненулевые (нетривиальные) решения, ее определитель должен быть равен нулю
.
Это уравнение называется характеристическим и имеет два корня . Возьмем сначала и подставим в последнюю систему
.
Полагая найдеми тогда,. Пусть теперьи тогда
.
Выбирая найдеми тогда,. Можно показать, что общим решением системы будет пара функцийи:
, , гдеи- произвольные постоянные.
Контрольная работа №9
9.1-9.30. В двойном интеграле расставьте пределы интегрирования двумя способами (меняя порядок интегрирования) и вычислите интеграл.
9.1. |
; |
. |
9.2. |
; |
. |
9.3. |
; |
. |
9.4. |
; |
. |
9.5. |
; |
. |
9.6. |
; |
. |
9.7. |
; |
. |
9.8. |
; |
. |
9.9. |
; |
. |
9.10. |
; |
. |
9.11 |
; |
. |
9.12. |
; |
. |
9.13. |
; |
. |
9.14. |
; |
. |
9.15. |
; |
. |
9.16. |
; |
. |
9.17. |
; |
. |
9.18. |
; |
. |
9.19. |
; |
. |
9.20. |
; |
. |
9.21. |
; |
. |
9.22. |
; |
. |
9.23. |
; |
. |
9.24. |
; |
. |
9.25. |
; |
. |
9.26. |
; |
. |
9.27. |
; |
. |
9.28. |
; |
. |
9.29. |
; |
. |
9.30. |
; |
. |
10.1-10.30. С помощью двойного интеграла в полярных координатах найти площадь области, ограниченной данными линиями. Сделать чертеж.
10.1. |
; |
; |
. |
10.2. |
; |
; |
. |
10.3. |
; |
; |
. |
10.4. |
; |
; |
. |
10.5. |
; |
; |
. |
10.6. |
; |
; |
. |
10.7. |
; |
; |
. |
10.8. |
; |
; |
. |
10.9. |
; |
; |
. |
10.10. |
; |
; |
. |
10.11. |
; |
; |
. |
10.12. |
; |
; |
. |
10.13. |
; |
; |
. |
10.14. |
; |
; |
. |
10.15. |
; |
; |
. |
10.16. |
; |
; |
. |
10.17. |
; |
; |
. |
10.18. |
; |
; |
. |
10.19. |
; |
; |
. |
10.20. |
; |
; |
. |
10.21. |
; |
; |
. |
10.22. |
; |
; |
. |
10.23. |
; |
; |
. |
10.24. |
; |
; |
. |
10.25. |
; |
; |
. |
10.26. |
; |
; |
. |
10.27. |
; |
; |
. |
10.28. |
; |
; |
. |
10.29. |
; |
; |
. |
10.30. |
; |
; |
. |
11.1-11.30. Найдите массу тела, ограниченного заданными поверхностями, если пространственная плотность распределения массы равна .
11.1. |
; |
; ; |
; |
=2. |
11.2. |
; |
; |
; |
=5. |
11.3. |
; |
; |
; |
=3. |
11.4. |
;; |
=. | ||
11.5. |
=. | |||
11.6. |
; |
; ; |
; |
=4. |
11.7. |
; |
; |
; |
=3. |
11.8. |
; |
; ; |
; |
=z. |
11.9. |
; |
; ; |
; |
=2. |
11.10. |
; |
; |
; |
=4. |
11.11. |
=. | |||
11.12. |
=. | |||
11.13. |
; |
; ; |
; |
. |
11.14. |
=. | |||
11.15. |
; |
; |
; |
=3. |
11.16. |
; |
; ; |
; |
=y. |
11.17. |
; |
; ; |
; |
=5. |
11.18. |
; |
|
; |
=y. |
11.19. | ||||
11.20. |
; |
; |
; |
=4. |
11.21. |
; |
; ; |
; |
=z. |
11.22. |
; |
=. | ||
11.23. |
; |
; ; |
; |
=2. |
11.24. |
=. | |||
11.25. |
=. | |||
11.26. |
=. | |||
11.27. |
; |
; ; |
; |
=z. |
11.28. |
; |
; |
; |
=2,5. |
11.29. |
; | |||
11.30. |
; |
12.1-12.30. Вычислите криволинейный интеграл
12.1. , гдеL — путь, соединяющий точки О(0, 0) и А(1, 1)
a) по кривой ;
b) по ломанной линии ОВА, где В(0, 1);
c) по окружности .
12.2. , гдеL — путь, соединяющий точки А(1, 0) и В(0, 1)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(1, 1);
c) по окружности .
12.3. , гдеL — путь, соединяющий точки О(0, 0) и А(-4, 2)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии ОCА, где C(0, 2);
c) по эллипсу .
12.4. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-2, 0) и В(0, 2)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(-2, 2);
c) по окружности .
12.5. , гдеL — путь, соединяющий точки А(0, -3) и В(3, 0)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(3, -3);
c) по параболе .
12.6. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, -1)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(-1,-1);
c) по параболе .
12.7. , гдеL — путь, соединяющий точки А(2, 0) и В(0, 4)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(2, 4);
c) по эллипсу .
12.8. , гдеL — путь, соединяющий точки А и В
a) по гиперболе ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(2, 2);
c) по прямой .
12.9. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, 2)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(-1, 2);
c) по эллипсу .
12.10. , гдеL — путь, соединяющий точки А(4, 0) и В(0, 2)
a) по параболе ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(4, 2);
c) по эллипсу .
12.11. , гдеL — путь, соединяющий точки А(1, 2) и В(2, 1)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(2, 2);
c) по параболе .
12.12. , гдеL — путь, соединяющий точки А(9, 0) и В(0, 3)
a) по параболе ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(9, 3);
c) по прямой .
12.13. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, -1)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(-1, -1);
c) по параболе .
12.14. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, 2)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(-1, 2);
c) по эллипсу .
12.15. , гдеL — путь, соединяющий точки А(0, 3) и В(1, 4)
a) по кривой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(0, 4);
c) по прямой .
12.16. , гдеL — путь, соединяющий точки А(3,0) и В(0, 3)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(3, 3);
c) по окружности .
12.17. , гдеL — путь, соединяющий точки А(2, 0) и В(3, 1)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(2, 1);
c) по окружности .
12.18. , гдеL — путь, соединяющий точки А и В
a) по кривой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С;
c) по прямой .
12.19. , гдеL — путь, соединяющий точки А(0, 2) и В(1, 3)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(0, 3);
c) по параболе .
12.20. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-4, 0) и В(0, -2)
a) по параболе ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(-4, -2);
c) по прямой .
12.21. , гдеL — путь, соединяющий точки А и В
a) по гиперболе ;
b) по ломанной линии АСВ, где С;
c) по прямой .
12.22. , гдеL — путь, соединяющий точки O(0, 0) и В(2, 2)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии OСВ, где С(0, 2);
c) по окружности .
12.23. , гдеL — путь, соединяющий точки О(0, 0) и А
a) по прямой ;
b) по ломанной линии ОВА, где В(-1, 0);
c) по полукубической параболе .
12.24. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-2, 5) и В(0, 1)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(0, 5);
c) по параболе .
12.25. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, 2)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АВС, где С(-1, 2);
c) по эллипсу .
12.26. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-2, 0) и В(0, 1)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(-2, 1);
c) по эллипсу .
12.27. , гдеL — путь, соединяющий точки А(0, 2) и В(4, 0)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(4, 2);
c) по эллипсу .
12.28. , гдеL — путь, соединяющий точки А(-1, 0) и В(0, -3)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(-1, -3);
c) по эллипсу .
12.29. , гдеL — путь, соединяющий точки А(2, 4) и В(4, 2)
a) по кривой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(4, 4);
c) по прямой .
12.30. , гдеL — путь, соединяющий точки А(0, -3) и В(4, 0)
a) по прямой ;
b) по ломанной линии АСВ, где С(4, -3);
c) по эллипсу .