- •Высшая математика
- •Часть 3
- •Составители: ст.Преп. Елена Николаевна Бесперстова
- •Рабочая программа
- •Рекомендуемая литература
- •Контрольная работа №7.
- •4.1-4.30.
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 7
- •1. Неопределенный интеграл
- •2. Основные методы интегрирования
- •3. Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •5. Интегрирование тригонометрических функций
- •6. Определенный интеграл
- •7. Несобственные интегралы.
- •8. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Контрольная работа №8 Дифференциальные уравнения
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы №8
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные уравнения первого порядка.
- •3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •4. Линейные уравнения второго порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Контрольная работа №9
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 9
- •1. Кратные и криволинейные интегралы
- •2. Вычисление двойных интегралов
- •3. Вычисление тройных интегралов
- •4. Вычисление криволинейных интегралов
2.2. Однородные уравнения первого порядка
Пусть дано дифференциальное уравнение первого порядка . Если функция удовлетворяет условию , то есть является однородной функцией нулевого порядка, то данное уравнение называется однородным.
Полагая в равенстве , переменную равной , получим, или. Это означает, что однородная функция нулевого порядка может быть выражена через отношение. Поэтому, для решения данного уравнения применяют подстановкуили, где— неизвестная функция от. Найдя ее, найдем и- решение данного уравнения.
Пример 1. Решить уравнение .
Решение. Находим ;;. Так как правая часть зависит от, то уравнение является однородным. Делаем подстановку:, тогдаи получаем,,,,, интегрируя, получим,,. Следовательно,— общее решение данного уравнения.
2.3. Линейные уравнения первого порядка.
Линейными уравнениями первого порядка называются уравнение вида , где и— заданные непрерывные функции от.
Для решения таких уравнений делаем подстановку . Тогда и уравнение примет видили. Выберем теперь так, чтобы . Для этого надо решить последнее уравнение. Оно является уравнением с разделяющимися переменными и решается просто. Найдя , из уравнениянаходим функцию, а значит, и. Таким образом, уравнение распадается на систему двух более простых уравнений с разделяющимися переменными.
Пример 2. Найти общее решение уравнения .
Решение. Сделаем подстановку , гдеи— неизвестные пока функции от. Тогда и уравнение принимает вид:
или (9)
Выбираем так, чтобы. Решаем это уравнение ,;; интегрируя получим:;;. Подставляя это значение в равенство (9) получим:
; ;;.
Таким образом, — общее решение данного уравнения.
Замечание. Уравнение вида , при не является линейным. Оно называетсяуравнением Бернулли, но решается так же, как и линейное, подстановкой .
3. Дифференциальные уравнения высших порядков
Перейдем к рассмотрению дифференциальных уравнений высших порядков, начиная со второго. Дифференциальные уравнения второго порядка имеют вид
.
Общим решением дифференциального уравнения второго порядка называется функция , которая при любых значениях произвольных постоянных обращает уравнение в тождество и из которой специальным подборомиможно получить любое частное решение.
Рассмотрим некоторые частные случаи уравнения второго порядка, общее решение которых находится понижением порядка уравнения.
1. Уравнение вида . Имеем , тогда, , ,.Далее , поэтомуи, где— одна из первообразных функций для.
Пример 3. Решить дифференциальное уравнение второго порядка .
Решение. ;;;. Интегрируя, находим. Далее ;;, интегрируя, получаем
—общее решение.
Замечание. Аналогичным образом решаются уравнения указанного вида более высокого порядка.
2. Уравнения, явно не содержащие неизвестной функции :.
Делая замену , получими уравнение принимает вид. Решая это уравнение первого порядка, находим функцию , а затем, из подстановки , путем интегрирования находим неизвестную функцию.
Пример 4. Найти общее решение уравнения .
Решение. Делаем подстановку . Тогда . Получим
, ;;.
Интегрируя последнее уравнение, найдем ;. Так как ,то;, откуда— это и есть общее решение данного уравнения.
3. Уравнения, явно не содержащие независимую переменную :.
В этом случае, исходя из подстановки , где— функция от, находим . Подставляя в исходное уравнение значенияи, получаем уравнение первого порядка относительно функции , найдя которую, из подстановки , находим.
Пример 5. Найти общее решение уравнения .
Решение. Делая подстановку ,, получим,. Интегрируем обе части уравнения:;;;. Так как, то;;;. Интегрируя, найдем:
.
Итак, общий интеграл данного уравнения .