4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений

Рассмотрим интегралы вида

,

где — рациональная функция своих аргументов. Указанные интегралы сводятся к интегралам от рациональных дробей подстановкой, где.

Аналогичной подстановкой вычисляются интегралы указанного вида, если в подкоренных выражениях, вместо , содержатся выражения видаили.

Интегралы вида вычисляются таким же методом, как и интегралы от простейших рациональных дробей третьего вида.

Пример 12. Вычислить интеграл .

Решение. Так как , сделаем подстановку. Тогдаи.

Разделив на, получим

, где .

Следовательно,

5. Интегрирование тригонометрических функций

Укажем несколько классов тригонометрических выражений, интегралы от которых встречаются довольно часто и методы интегрирования этих выражений.

Интегралы вида вычисляются в общем случае с помощью универсальной тригонометрической подстановки. Тогдазаменяются по формулам:и под интегралом получится рациональная дробь, которую мы уже умеем интегрировать.

Интегралы вида , где хотя бы одно из чиселилинечетно, вычисляются подстановкой

, если нечетно;

, если нечетно.

Если же и- четные натуральные числа, то применяем для преобразования подынтегрального выражения тригонометрические формулы понижения степени

.

Интегралы вида вычисляются также с помощью формул тригонометрии, преобразующих произведения тригонометрических функций в их сумму:

Пример 13. Вычислить интеграл .

Решение.

Пример 14. Вычислить интеграл .

Решение.

.

Пример 15. Вычислить интеграл .

Решение.

6. Определенный интеграл

Пусть дана функция непрерывная на отрезке. Разобьем этот отрезок произвольным образом наn частей точками (Рис.1). Длины соответствующих отрезков обозначим. Произвольным образом выберем точкии составим сумму

(5)

Эта сумма называется интегральной суммой для функции на отрезке. Каждое слагаемое суммы (5) приближенно представляет площадь прямоугольника с основаниеми высотой.

рис. 1

Поэтому вся интегральная сумма будет приближенно равна площади области, ограниченной отрезком осиOX, кривой и прямыми, то есть площадикриволинейной трапеции.

Если существует предел при суммы (5), не зависящий ни от способа разбиения отрезкана части, ни от выбора точеквнутри, то этот предел называетсяопределенным интегралом от функции на отрезкеи обозначается. Итак,

. (6)

Из предыдущих рассуждений следует, что если , то определенный интеграл равен площади указанной криволинейной трапеции. Вычисление определенного интеграла осуществляется поформуле Ньютона-Лейбница

. (7)

где — одна из первообразных функции.

Например,

.

Если для вычисления определенного интеграла требуется сделать подстановку вида x=(t) или (x)=u, то переходя под интегралом к новой переменной находим из данной подстановки пределы изменения этой переменной и вычисляем вновь полученный определенный интеграл с новыми пределами.

Пример 16. Вычислить определенный интеграл .

Решение.

При вычислении этого интеграла были применены формулы

В некоторых случаях формула Ньютона-Лейбница не применима из-за того, что первообразная не выражается через элементарные функции вообще или она выражается через них очень громоздким образом. В таких случаях для вычисления определенных интегралов применяют приближенные формулы. Одной из них, дающей достаточную для практики точность вычислений, являетсяформула Симпсона. Для ее применения отрезок интегрирования разбивают на четное числоравных частей. Тогда длина каждой из них (шаг интегрирования). Обозначая точки деления отрезка через, вычислим значение подынтегральной функциив этих точках. Получим,,,…,. Можно показать, что будет справедлива формула Симпсона для приближенного вычисления интеграла:

. (8)

Погрешность этой формулы имеет порядок .

Пример 17. Вычислить определенный интеграл по формуле Симпсона при. Все вычисления проводить с точностью до 3-го десятичного знака.

Решение. Так как ;и, тоc помощью таблицы значений функции и несложных вычислений находими. Результаты расчетов приведены в таблице 1.

Таблица 1

	0	0,1	0,2	0,3	0,4	0,5	0,6	0,7	0,8	0,9	1,0
	1	0,990	0,961	0,914	0,852	0,779	0,696	0,632	0,527	0,445	0,368

Подставим эти значения в формулу (8) и получим

Формула Симпсона при дает погрешность порядка. Погрешность округлений не превосходит 0,001. Таким образом, полученный результат верен с точностью до 0,001.