4.1-4.30.

4.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой.

4.2. Вычислите длину дуги кривой .

4.3. Вычислите объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми .

4.4. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией .

4.5. Вычислите длину дуги арки циклоиды .

4.6. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболой и прямой.

4.7. Вычислите длину дуги кривой .

4.8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

4.9. Вычислите длину дуги полукубической параболы от точкидо точки.

4.10. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией .

4.11. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линией .

4.12. Вычислите длину дуги полукубической параболы от точкидо точки.

4.13. Вычислите площадь фигуры, ограниченной кардиоидой .

4.14. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями и.

4.15. Вычислите площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды и осьюОх.

4.16. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной кривыми и осьюОу .

4.17. Вычислите длину дуги кардиоиды .

4.18. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной параболами .

4.19. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой.

4.20. Вычислите длину астроиды .

4.21. Вычислите площадь фигуры, ограниченной четырехлепестковой розой

4.22. Вычислите длину дуги кривой , ограниченной прямыми.

4.23. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

4.24. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу фигуры, ограниченной кривыми .

4.25. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линией .

4.26. Вычислите длину дуги кривой .

4.27. Вычислите длину дуги данной линии .

4.28. Вычислите объем тела, полученного вращением вокруг оси Оу линии .

4.29. Вычислите площадь фигуры, ограниченной астроидой .

4.30. Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями .

Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 7

1. Неопределенный интеграл

Определение и основные формулы интегрирования.

Пусть дана функция непрерывная в своей области определения.

Функция называетсяпервообразной для , если во всех точках указанной области выполняется равенство.

Например, для функции первообразной будет функция, так как. Для функциипервообразной будет, так как.

Если функция является первообразной для функции, то и функция, гдеC – произвольная постоянная, также будет первообразной для , так как.

Итак, выражение вида , гдеC – произвольная постоянная, определяет совокупность всех первообразных функций для функции .

Множество всех первообразных функций для функции называетсянеопределенным интегралом от функции и обозначается.

Таким образом, , гдеC – произвольная постоянная.

Например: .

Процесс нахождения неопределенного интеграла от функции называетсяинтегрированием функции .

Если график функции назватьинтегральной кривой для функции , то неопределенный интеграл будет определять множество всех интегральных кривых для этой функции.

Таблица основных правил и формул интегрирования

1.	;	10.	;
2.	;	11.	;
3.	;	12.	;
4.	;	13.	;
5.	, ;	14.	;
6.	;	15.	;
7.	;	16.	;
8.	;	17.	;
9.	;	18.	;
		19.	.

В формулах 3 – 19 u может быть как независимой переменной, так и некоторой функцией аргумента x.

Очевидны следующие свойства неопределенного интеграла, вытекающие из определения:

и .

Эти свойства используются для проверки правильности интегрирования.

Техника интегрирования сводится к непосредственному применению формул 1 –19, а также применению методов замены переменной (подстановки), интегрирования по частям, интегрирования рациональных дробей.

Непосредственное интегрирование

В простейших случаях интегралы вычисляются прямым применением формул  1–19.

Пример 1. Найти интеграл .

Решение. Преобразуем подынтегральное выражение и воспользуемся формулами 1, 2, 4. Получим

.

Здесь мы применили известные формулы и. Следовательно,

.

Проверим найденный результат дифференцированием. Найдем

,

что совпадает с подынтегральным выражением и, следовательно, интегрирование проведено правильно.