- •Высшая математика
- •Часть 3
- •Составители: ст.Преп. Елена Николаевна Бесперстова
- •Рабочая программа
- •Рекомендуемая литература
- •Контрольная работа №7.
- •4.1-4.30.
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 7
- •1. Неопределенный интеграл
- •2. Основные методы интегрирования
- •3. Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •5. Интегрирование тригонометрических функций
- •6. Определенный интеграл
- •7. Несобственные интегралы.
- •8. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Контрольная работа №8 Дифференциальные уравнения
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы №8
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные уравнения первого порядка.
- •3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •4. Линейные уравнения второго порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Контрольная работа №9
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 9
- •1. Кратные и криволинейные интегралы
- •2. Вычисление двойных интегралов
- •3. Вычисление тройных интегралов
- •4. Вычисление криволинейных интегралов
Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 9
1. Кратные и криволинейные интегралы
1.1. Основные понятия и определения
Рассмотрим некоторое измеримое множество точек Е, на котором определена непрерывная функция . Разобьем множествоЕ произвольным образом на n частей , причем, чтобы не вводить новых обозначений, подбудем понимать не только обозначение соответствующей области, но и ее меру.
Возьмем точки , вычислими составим сумму
.
Эту сумму назовем интегральной суммой для функции на множествеЕ.
Предел интегральной суммы при , если он существует и не зависит ни от способа разбиения множестваЕ на части , ни от выбора точек, называетсяинтегралом от функции на множестве Е и обозначается . Итак,
.
1.2. Определенный интеграл
Если множество Е представляет собой отрезок осиОх, то ,и мы получаем уже известное нам определение определенного интеграла
.
1.3. Двойной интеграл.
Если множество Е — некоторая область D в плоскости Oxy, то ,,,,и— интегральная сумма для функциив областиD, а ее предел (если он существует), при , называетсядвойным интегралом от функции на областиD и обозначается .
Итак, .
Геометрический смысл интегральной суммы, стоящей под знаком предела — сумма объемов «столбиков», один из которых показан на рис. 6.
рис. 6
1.4. Тройной интеграл.
Если множество Е — некоторая пространственная область V, то ,,и— интегральная сумма для функциив областиV, а ее предел (если он существует), при , называетсятройным интегралом от функции на областиV и обозначается .
Итак, .
Аналогичным образом определяется любой n-кратный интеграл.
Замечание. Если функции ,,, … непрерывны в соответствующих областях, то интегралы от этих функцийсуществуют.
Геометрический смысл определенного интеграла уже известен. Геометрический смысл двойного интеграла — объем цилиндрического тела, в основании которого лежит область D, сверху — поверхность , а с боков — цилиндрическая поверхность с образующими, параллельными осиOz (рис.6). Интегралы более высокой кратности геометрического смысла в общем случае не имеют.
Физический смысл всех рассмотренных интегралов — масса соответствующей области интегрирования, для которой подынтегральная функция является плотностью распределения масс.
Свойства кратных интегралов аналогичны известным свойствам определенного интеграла.
С помощью кратных интегралов можно вычислять площади, объемы, находить статистические моменты и моменты инерции, координаты центров тяжести различных тел и решать другие задачи. В частности, площади плоских областей можно находить по формуле , а объемы пространственных тел по формуле.
1.5. Криволинейный интеграл
Рассмотрим случай, когда множество Е — некоторый участок АВ кривой L, лежащий в плоскости Oxy, в каждой точке которой определены и непрерывны функции и. По аналогии с предыдущим, составим интегральную сумму
,
где точка .
Предел этой суммы, при и, если он существует, называетсякриволинейным интегралом по координатам по кривой L и обозначается
.
Таким образом,
Из свойств криволинейного интеграла отметим только одно: при изменении направления интегрирования криволинейный интеграл меняет знак.
Если иявляются координатами вектора, определенного в точках кривойL, то этот вектор задает векторное (силовое) поле над кривой L и тогда криволинейный интеграл определяет работу, совершаемую вектором на участке кривойL от точки A до точки B. Если кривая L замкнута, то указанная работа называется циркуляцией векторного поля.
Аналогичным образом определяется криволинейный интеграл по пространственной кривой.