- •Высшая математика
- •Часть 3
- •Составители: ст.Преп. Елена Николаевна Бесперстова
- •Рабочая программа
- •Рекомендуемая литература
- •Контрольная работа №7.
- •4.1-4.30.
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 7
- •1. Неопределенный интеграл
- •2. Основные методы интегрирования
- •3. Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •5. Интегрирование тригонометрических функций
- •6. Определенный интеграл
- •7. Несобственные интегралы.
- •8. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Контрольная работа №8 Дифференциальные уравнения
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы №8
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные уравнения первого порядка.
- •3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •4. Линейные уравнения второго порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Контрольная работа №9
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 9
- •1. Кратные и криволинейные интегралы
- •2. Вычисление двойных интегралов
- •3. Вычисление тройных интегралов
- •4. Вычисление криволинейных интегралов
Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы №8
1. Дифференциальные уравнения
Основные понятия и определения
Уравнение, связывающее независимую переменную , функцию этой переменной и ее производные, называетсядифференциальным.
Порядком дифференциального уравнения называется наивысший порядок производной, входящей в это уравнение. Например, уравнение - уравнение 1-го порядка, - уравнение 2-го порядка и т. д.
Частным решением дифференциального уравнения называется функция , обращающая это уравнение в тождество.
Рассмотрим уравнение . Это дифференциальное уравнение 1-го порядка. Функция будет его решением, т.к. и подстановка этой функции в уравнение дает:, т.е. эта функция обратила данное уравнение в тождество.
Легко проверить, что и вообще,— будут решением данного уравнения.
Функция называетсяобщим решением дифференциального уравнения 1-го порядка, если при любом значении произвольного постоянного с она обращает это уравнение в тождество и специальным подбором постоянного с из этой функции можно получить любое частное решение. Так, в приведенном примере, функции и т. д. являются частными решениями, а функция— общим решением рассматриваемого уравнения.
График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой. Частные решения определяют конкретные интегральные кривые, а общее решение — семейство всех интегральных кривых. Интегральная кривая, определяющая частное решение и удовлетворяющее начальному условию — это кривая из семейства интегральных кривых, проходящая через точку.
Пусть начальные условия для рассматриваемого примера будут . Подставляя в общее решение иполучим, откуда и функциябудет являться частным решением, удовлетворяющим заданному начальному условию. Из всех интегральных прямых мы взяли ту, которая проходит через точку. (рис.5).
рис. 5
Аналогичным образом будем определять позже частные и общие решения для уравнений более высокого порядка. Рассмотрим конкретные виды дифференциальных уравнений и методы их решения.
2. Дифференциальные уравнения первого порядка
2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
В общем виде дифференциальное уравнение первого порядка может быть записано в неявном или в явном виде. Если это уравнение может быть представлено в виде , то оно называетсяуравнением с разделяющимися переменными. Действительно, в этом случае можно провести следующие преобразования: ,,, (). И получим уравнение с ужеразделенными переменными. Интегрируя левую и правую части уравнения с разделенными переменными, получим . Выполняя интегрирование, найдем связь междуив виде, которая называетсяобщим интегралом данного уравнения. Если из последнего уравнения выразить , то получимобщее решение данного уравнения.
Замечание. Уравнение с разделяющимися переменными может быть записано в виде . К уравнению с разделенными переменными приходим аналогичнои теперь нужно, как и раньше, проинтегрировать обе части полученного равенства.
Например,
; ;;.
Интегрируем последнее уравнение
—общее решение данного уравнения.