- •Высшая математика
- •Часть 3
- •Составители: ст.Преп. Елена Николаевна Бесперстова
- •Рабочая программа
- •Рекомендуемая литература
- •Контрольная работа №7.
- •4.1-4.30.
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 7
- •1. Неопределенный интеграл
- •2. Основные методы интегрирования
- •3. Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •5. Интегрирование тригонометрических функций
- •6. Определенный интеграл
- •7. Несобственные интегралы.
- •8. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Контрольная работа №8 Дифференциальные уравнения
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы №8
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные уравнения первого порядка.
- •3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •4. Линейные уравнения второго порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Контрольная работа №9
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 9
- •1. Кратные и криволинейные интегралы
- •2. Вычисление двойных интегралов
- •3. Вычисление тройных интегралов
- •4. Вычисление криволинейных интегралов
2. Вычисление двойных интегралов
Вычисление двойного интеграла сводится к двукратному применению формулы Ньютона-Лейбница (7). Пусть область D определена неравенствами , (рис.7).
рис. 7 рис. 8
Тогда формула для вычисления криволинейного интеграла имеет вид
, (11)
причем сначала вычисляется внутренний интеграл ,в котором переменная считается постоянной, а затем полученное выражение еще раз интегрируется по переменной x внешним интегрированием.
Если область D задана неравенствами (рис.8), то двойной интеграл вычисляется по формуле
. (12)
Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x, при постоянном y, а внешний — по переменной y.
Интегрирование по произвольной области D сводится к применению формул (11) или (12).
Пример 1. Вычислить двойной интеграл двумя способами, изменяя порядок интегрирования: , гдеD — область, ограниченная линиями ,,.
Решение. Сделаем чертеж (рис.9)
рис. 9
Выбирая внутреннее интегрирование по переменной , а внешнее по, получим:
Здесь внешний интеграл берется по переменной . Граничными точками этой переменной будут точкии, которые и определяют внешние пределы интегрирования. Внутренний интеграл берется по переменной. Пределы интегрирования для него будут являться функциями от, которые определяются из уравнений линий, ограничивающих областьD снизу () и сверху (). Следовательно,
Изменяя порядок интегрирования, разобьем область D на две части: пусть D1 — часть, лежащая ниже оси , аD2 — часть, лежащая выше оси . Тогда.
Совпадение результатов подтверждает правильность вычислений.
Вычисление двойного интеграла в полярной системе координат производится по формуле
или , (13)
где и— пределы изменения полярного углав областиD, а и—функции, задающие кривыеВNА и ВМА в полярной системе координат (рис.10), ограничивающие область D.
рис. 10
Площадь области D в декартовой системе координат, находится по формуле
.
Если область D в полярных координатах определена неравенствами , то
. (14)
Пример 2. С помощью двойного интеграла в полярных координатах найти площадь области, ограниченной линиями ,.
Решение. Уравнение можно привести к виду, которое определяет окружность радиуса 3 с центром в точкеА(3,0) (рис.11).
рис. 11
Учитывая, что декартовы и полярные координаты связаны формулами , запишем уравнения данной окружности и прямой в полярных координатах:
, или ;
, или , то есть.
Из рисунка 11 видно, что полярный радиус изменяется от 0 до значения r на окружности, то есть до , а угол изменяется от 0 до. Применяя формулу (14) получаем
3. Вычисление тройных интегралов
Пусть пространственная область V, по которой вычисляется тройной интеграл, ограничена снизу поверхностью , сверху — поверхностью, с боков — цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными осиOZ. При этом область V проектируется на плоскость ОХУ в область D.
рис. 12
Тогда
(15)
Внутренний интеграл (в скобках) вычисляется по переменной z, при постоянных x и y, а внешний интеграл — это двойной интеграл по области D, вычислять который уже умеем.
Еще две аналогичные формулы можно получить при другом расположении области V относительно координатных плоскостей, вычисляя внутренние интегралы по x или y, а внешний — соответственно по y и z или x и z.
Пример 3. Найти массу тела, ограниченного поверхностями , если плотность распределения массы равна.
Решение. Уравнение определяет круговой цилиндр радиуса, с образующими,параллельными оси OZ. Уравнение определяет параболический цилиндр, с образующими,параллельными оси OZ. Уравнение определяет плоскость, проходящую через осьOX. Уравнение определяет плоскостьXOY.
Сделаем чертеж пространственной области V.
рис.13
Массу тела, ограниченного областью V с пространственной плотностью найдем по формуле
.
Так как , то.
Вычислим тройной интеграл
, где D — проекция области V на плоскость XOY, (рис 14).
рис.14
Найдем точки А и В пересечения кривых .
, следовательно, , откуда, причем— посторонний корень. Поэтому. Точки пересечения имеют координаты. Таким образом,
.
Вычислим двойной интеграл по области D