- •Высшая математика
- •Часть 3
- •Составители: ст.Преп. Елена Николаевна Бесперстова
- •Рабочая программа
- •Рекомендуемая литература
- •Контрольная работа №7.
- •4.1-4.30.
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 7
- •1. Неопределенный интеграл
- •2. Основные методы интегрирования
- •3. Интегрирование рациональных дробей
- •4. Интегрирование некоторых иррациональных выражений
- •5. Интегрирование тригонометрических функций
- •6. Определенный интеграл
- •7. Несобственные интегралы.
- •8. Геометрические приложения определенного интеграла
- •Контрольная работа №8 Дифференциальные уравнения
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы №8
- •1. Дифференциальные уравнения
- •2. Дифференциальные уравнения первого порядка
- •2.1. Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными
- •2.2. Однородные уравнения первого порядка
- •2.3. Линейные уравнения первого порядка.
- •3. Дифференциальные уравнения высших порядков
- •4. Линейные уравнения второго порядка.
- •5. Системы дифференциальных уравнений
- •Контрольная работа №9
- •Методические указания и примеры для выполнения контрольной работы № 9
- •1. Кратные и криволинейные интегралы
- •2. Вычисление двойных интегралов
- •3. Вычисление тройных интегралов
- •4. Вычисление криволинейных интегралов
2. Основные методы интегрирования
Метод подстановки или замены переменной
Суть метода в том, что переменную интегрирования x заменяем на некоторое выражение, зависящее от новой переменной , где– непрерывная, вместе со своей производной, функция от аргументаt. Затем находим и переходим под интегралом к новой переменнойt. Вычислив этот интеграл, возвращаемся к исходной переменной x.
Соответствующая формула имеет вид
, (1)
В некоторых случаях, через новую переменную удобно заменить не x, а некоторое выражение, зависящее от x, т.е. сделать подстановку и, вычислив новый интеграл, вернуться к переменнойx:
. (2)
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. Сделаем подстановку , тогдаи. Поэтому интеграл преобразуется к виду
.
Из подстановки найдеми. Тогда.
Таким образом, мы получили табличный интеграл
.
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение. Сделаем подстановку . Тогда. Переходя под интегралом к переменной, получим
.
Возвращаясь к переменной найдем окончательно.
Сделаем проверку , что совпадает с подынтегральным выражением.
Аналогичным образом вычислим еще несколько интегралов, не делая подробных объяснений.
Пример 4.
Пример 5. .
Пример 6. .
Пример 8.
Метод интегрирования по частям
Пусть даны две непрерывные в некоторой области функции и. Известно, что. Интегрируя левую и правую части этого равенства, получим
.
В левой части этого равенства находятся два симметричных по форме интеграла. Если один из них (например, второй) вычисляется просто, то другой (первый) можно вычислить по формуле
, (3)
которая и называется формулой интегрирования по частям.
Эта формула применяется для интегрирования достаточно широкого класса функций.
Пример 9. Вычислить интеграл .
Решение. Обозначим . Тогда, а(см. пример 7), по формуле (3) получим
Пример 10. Вычислить интеграл .
Решение.
(см. пример 4).
3. Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью называется дробь вида , гдеи— многочлены степениисоответственно.
Если , то дробь называетсяправильной, если , то дробь называетсянеправильной. Неправильную рациональную дробь можно преобразовать, представив ее в виде суммы целой части и правильной рациональной дроби, например,
.
Разделим числитель на знаменатель «уголком»
|
|
| |||
| |||||
|
|
| |||
|
|
| |||
|
|
Следовательно, .
Так как целая часть интегрируется легко, то задача сводится к интегрированию правильных рациональных дробей и решается в два этапа
Представление произвольной рациональной дроби в виде суммы простейших рациональных дробей.
Интегрирование простейших рациональных дробей.
К простейшим рациональным дробям относятся дроби вида
, где - натуральное число и дискриминант квадратного трехчленаменьше нуля,.
Вычислим интегралы от указанных дробей.
1. .
2.
.
3. .
Выделим в знаменателе полный квадрат
.
Обозначим
, тогда .
Таким образом,
.
Возвращаясь к исходной переменной, получим
,
где .
Рациональная дробь четвертого вида встречается достаточно редко, и ее интегрирование мы рассматривать не будем.
Схему разложения правильной рациональной дроби на простейшие покажем на примере.
Пусть знаменатель дроби уже представлен в виде произведения линейных и квадратных сомножителей (с отрицательным дискриминантом) различной кратности, например:
.
Тогда дробь можно представить в виде
(4)
Здесь каждому множителю знаменателя соответствует столько дробей, какова кратность этого множителя. Линейным множителям, в числителях, соответствуют постоянные числа, квадратным множителям – многочлены вида . Если множителей будет больше и их кратность выше, то правая часть соответствующим образом увеличивается. Для нахождения неизвестных коэффициентоввсе дроби в правой части приводятся к общему знаменателю (который будет равен знаменателю левой части) и приравниваются друг другу числители левой и правой части. Из этого сравнения получается система уравнений, из которой находятся все неизвестные коэффициенты.
Пример 11. Вычислить интеграл .
Решение. Представим подынтегральную дробь в виде суммы простейших дробей. Так как квадратный трехчлен имеет отрицательный дискриминант,, то
Отсюда получаем
или
или .
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в левой и правой частях, получим:
Таким образом,
.