4. Вычисление криволинейных интегралов

Вычисление криволинейных интегралов зависит от того, в каком виде задается уравнение кривой интегрирования. Рассмотрим три случая.

1) Пусть контур интегрирования L задан уравнением в явном виде , где . В этом случае криволинейный интеграл надо выразить через переменную и свести его к обычному определенному интегралу, то есть

; (16)

2) Пусть контур интегрирования задан явным уравнением , . Заменой и сводим криволинейный интеграл к определенному интегралу

(17)

3) Пусть контур интегрирования L задан уравнением в параметрической форме ,,. В этом случае криволинейный интеграл выражают через параметр и сводят к обычному определенному интегралу, то есть

(18)

Пример 4. Вычислить криволинейный интеграл ,если кривая АВ задана уравнением и.

Решение. Так как кривая задана явным уравнением , где, то вычисляем интеграл по формуле (16). Находим и

Пример 5. Вычислить криволинейный интеграл от точкиМ(1,1) до точки N(4,2) вдоль кривой .

Решение. Этот интеграл вычисляем по формуле (17)

Пример 6. Вычислить криволинейный интеграл , если криваяАВ задана параметрическими уравнениями: ,,.

Решение. Кривая АВ есть часть эллипса с полуосями 3 и 2, находящаяся в первой четверти. Так как кривая АВ задана параметрически, то этот интеграл будем вычислять по формуле (18). Имеем

Замечание. Если в криволинейном интеграле путь интегрирования L разбит на несколько участков, например, на L₁ и L₂, то

=+.

56