4. Диференціальні рівняння

4.1. Основні поняття. Задача Коші.

Означення. Диференціальним рівнянням називається співвідношення, що зв‘язує незалежну змінну, невідому функцію та її похідні.

Означення. Порядком диференціального рівняння називається порядок найвищої похідної, що входить в це рівняння. Так, рівняння є рівняння першого порядку, а рівнянняє рівнянням третього порядку.

Означення. Якщо невідома функція, яка входить до диференціального рівняння, залежить лише від однієї незалежної змінної, то диференціальне рівняння називається звичайним, якщо ж від декількох – то диференціальне рівняння називається рівнянням в частиних похідних.

Ми будемо розглядати лише звичайні диференціальні рівняння. В загальному випадку диференціальне рівняння порядку „n” можна записати у такому вигляді:

(4.1)

В цьому рівнянні x – незалежна змінна, y – невідома (шукана) функція, - похідні шуканої функції до порядкуn включно.

Звичайне диференціальне рівняння першого порядку має такий вигляд:

(4.2)

Якщо це рівняння вдається розв‘язати відносно похідної, то воно записується так:

(4.3)

Розв‘язком диференціального рівняння (4.3) називається така неперервно диференційовна в інтервалі (a, b) функція , що перетворює це рівняння в тотожність. Графік розв‘язку диференціального рівняння називається інтегральною кривою.

Розглянемо геометричний зміст диференціального рівняння першого порядку. Похідна функції з геометричної точки зору дорівнює тангенсові кута нахилу дотичної до інтегральної кривої у точці з абсцисоюх. Отже, рівняння (4.3) кожній точці (х, у) площини ХОУ ставить у відповідність напрямок дотичної до інтегральної кривої, що проходить через цю точку.

Найпростіше диференціальне рівняння першого порядку має такий вид:

або .

Із теорії інтегрального числення відомо, що будь-який розв‘язок цього диференціального рівняння може бути записаний у такому вигляді:

або

де - первісна функції, аС – деяка довільна стала. Це рівняння визначає так звану „сім‘ю” однопараметричних інтегральних кривих. Як видно, розв‘язок диференціального рівняння за рахунок того, що він містить довільну сталу, не є однозначним. Надаючи сталій різні значення, ми кожен раз будемо отримувати новий розв‘язок. В зв‘язку з цим розрізняють загальний і частинний розв‘язки диференціального рівняння.

Загальним розв‘язком диференціального рівняння першого порядку називають розв‘язок цього рівняння, що містить довільну сталу С, тобто розв‘язок, що має вид

(4.4)

Не завжди розв‘язок вдається знайти в явному вигляді, іноді він може бути заданий і неявно. В такому разі співвідношення

(4.5)

називається загальним інтегралом.

Розв‘язати задане диференціальне рівняння означає знайти його загальний розв‘язок або загальний інтеграл.

Розв‘язок, який отримується із загального розв‘язку при деякому фіксованому значенні довільної сталої С, називається частинним розв‘язком (або частинним інтегралом).

Задача Коші

В багатьох практичних задачах, що зводяться до диференціальних рівнянь, дуже часто вимагається знайти розв‘язок, що приймає певне значення при заданному значенні . Така задача називається задачею з початковими умовами або задачею Коші.

В загальному випадку для рівняння першого порядку задача Коші ставиться так: знайти розв‘язок диференціального рівняння

,

що задовольняє початковим умовам

або

Геометрично задача з початковими умовами зводиться до відшукання інтегральної кривої, що проходить через точку із заданими координатами .

Звідси постає питання про існування та єдиність розв‘язку задачі Коши. Відповідь на нього дає наступна теорема.

Теорема Пікара(про існування та єдиність розв‘язку диференціального рівняння першого порядку).

Якщо права частина рівняння

разом із своєю частинною похідною по унеперервні в деякій областіD, що містить точку , то існує єдиний розв‘язок цього рівняння, що задовольняє умовіпри.

Геометричний зміст теореми полягає в тому, що через кожну точку областіD проходить тільки одна інтегральна крива рівняння (4.3).

Особливий розв‘язок. Розв‘язок диференціального рівняння, який не може бути отриманий із загального розв‘язку ні при якому значенні довільної сталої, називається особливим розв‘язком. Особливі розв‘язки з‘являються тоді, коли порушуються умови теореми існування та єдиності (Т. Пікара).