4.2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними

Диференціальним рівнянням першого порядку з відокремленими змінними називається рівняння виду

(4.6)

В рівнянні цього виду біля стоїть функція, що залежить лише відх, а біля - функція, що залежить лише від у. Інтегруючи ліву частину по , а праву – побудемо мати.

Ми отримали співвідношення, що зв‘язує шукану функцію , незалежну зміннуі довільну сталу, тобто отримали загальний інтеграл рівняння (4.6).

Диференціальне рівняння першого порядку називається рівнянням з відокремлюваними змінними, якщо воно може бути представлено у вигляді

,

(4.7)

так що коефіцієнти при тає добутками двох функцій, із яких одна залежить тільки від, а друга – тільки від.

Це рівняння зводиться до рівняння з відокремленими змінними шляхом ділення обох його частин на вираз в припущенні, щотане обертаються в нуль. Це робиться для того, щоб прибули функції, що залежать лише від, а при- лише від.

В результаті ми отримаємо

Така операція називається „відокремленням змінних”, і вона зводить рівняння з відокремлюваними змінними до рівняння з відокремленими змінними, що розв‘язується безпосереднім інтегруванням.

Приклад.

Це рівняння з відокремлюваними змінними. Щоб змінні відокремити, ділимо його на вираз ; отримуємо.

Інтегруючи це рівняння, знаходимо

, або

Це і є загальний інтеграл рівняння.

4.3. Лінійні диференціальні рівняння. Однорідні диференціальні рівняння

Лінійним диференціальним рівняннм першого порядку називається рівняння виду

(4.8)

де - неперервні функції відна інтервалі. Якщо права частина дорівнює нулеві, то рівняння приймає вигляд

і називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням першого порядку. Відокремлюючи змінні, отримуємо його розв‘язок:

: .

Знайдемо тепер розв‘язок неоднорідного рівняння. Для цього припустимо, що розв‘язок неоднорідного рівняння має такий самий вигляд, що і розв‘язок однорідного рівняння, але величина є функцією:

(4.9)

або, диференціюючи .

Підставляючи ці значення у вихідне рівняння (4.8), отримаємо

, або

, ; звідки. Підставляючи знайдене значенняу вираз (4.9) остаточно отримаємо

.

Приклад.

.

Щоб привести це рівняння до стандартного виду, поділимо його на коефіцієнт при :

(4.10)

В цьому рівнянні: ;.

Шукаємо розв‘язок однорідного рівняння :

Відокремлюємо змінні:

; .

. Будемо вважати , тоді

, а .

Підставляємо тау рівняння (4.10):

;

або

; .

4.4. Диференціальні рівняння другого порядку

Загальні поняття та означення

Диференціальне рівняння другого порядку в загальному вигляді записуєтьмя так

.

Якщо його вдається розв‘язати відносно другої похідної, то рівняння приймає вигляд

.

Для рівняння другого порядку теорема Пікара (Теорема існування та єдиності розв‘язку) формулюється так:

Теорема. Якщо в рівнянні функціята її частинні похідні по аргументахнеперервні в деякій області, що містить значення,,, то існує і притому єдиний розв‘язок цього рівняння, що задовольняє умовам

; .

З геометричної точки зору ці умови означають, що через задану точку площини з координатами проходить єдина крива, що має заданий тангенс кута нахилу дотичної.

Загальним розв‘язком диференціального рівняння другого порядку називається функція , що залежить від двох довільних сталих і така, що вона

• задовільняє рівняння при будь-яких значеннях довільних сталих .

• при заданих початкових умовах

(з області )

довільні сталі таможна підібрати так, що функціябуде задовільняти цим умовам.

Співвідношення , що неявно визначає загальний розв‘язок, називається загальним інтегралом диференціального рівняння.

Будь-яка функція, що отримується із загального розв‘язку при фіксованих значеннях таназиваєтьсячастинним розв‘язком. Графік частинного розв‘язку називається інтегральною кривою даного диференціального рівняння.

Таким чином, щоб розв‘язати диференціальне рівняння другого порядку, треба або знайти його загальний розв‘язок, або (якщо задані початкові умови) частинний розв‘язок.