2.5. Застосування визначеного інтеграла

Обчислення площ плоских фігур. Згідно з трактовкою геометричного змісту визначеного інтеграла, якщо функція на відрізкунеперервна і, то площу криволінійної трапеції, обмеженої кривою, віссюі ординатамиі(рис. 1) обчислюють за формулою (2.2). Криволінійна трапеція(рис. 1) в цьому випадку лежить над віссю. Якщо жна, та фігурабуде лежати під віссюі її площа буде дорівнювати площі рівновеликої аналогічної фігури, обмеженої зверху кривою. Тоді згідно з формулою (2.2)

(2.6)

Об‘єднавши формули (2.5) і (2.6) в одну, одержимо

(2.7)

Ця формула залишається справедливою, якщо функція на відрізкузмінює свій знак скінчене число раз. Дійсно, нехайє знакозмінна неперервна функція на відрізку. Наприклад (рис. 2),при,приіпри. Тоді згідно з властивістю 4 визначеного інтеграла, та враховуючи його геометричний зміст можна записати

(2.8)

де - площі відповідних криволінійних трапецій.

Таким чином, визначений інтеграл, в загальному випадку, при є алгебраїчна сума площ відповідних криволінійних трапецій, в якій площі трапецій, розташованих над віссю, беруться із знаком плюс, а площі трапецій, розташованих під віссю, із знаком мінус.

Зауважимо, що площа заштрихованої на рис.2 фігури виражається інтегралом

.

Очевидно, щоб знайти площу такої фігури, потрібно знайти нулі функції , тобто значенняі, при якихі взяти суму площ цих криволінійних трапецій.

Приклад. Знайти площу фігури, обмеженої кривою прямимиіі віссю(рис. 3). Згідно з (2.8) та врахуванням того, що,, одержимо:

кв.од.

Розглянемо деякі інші випадки обчислення площ криволінійних фігур. Нехай потрібно обчислити площу фігури, обмеженої двома неперервними лініями і, при чомута двома ординатамиі(рис. 4).

Очевидно, що шукану площу можна розглядати як різницю площ двох криволінійних трапецій, обмежених цими лініями і віссю. Отже

(2.9)

Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої кривими ,та прямими,.

Згідно з (2.9)

.

До задачі (2.9) зводиться і задача обчислення площі криволінійної фігури, обмеженої лініями ,, що перетинаються у двох точках. В цьому випадку межі інтегрування визначаються як абсциси точок перетину цих кривих і знаходяться як розв‘язок рівняння.

Приклад. Знайти площу криволінійної фігури, обмеженої кривоюта прямою.

Межі інтегрування знайдемо із рівняння

кв.од.

Обчислення об‘ємів тіл. Розглянемо задачу обчислення об‘єму тіла за відомим законом зміни площі його поперечного перерізу(рис. 5).

Нехай - деякий вибраний напрямок і- площа поперечного перерізу площиною, перпендикулярною осіу точці з абсцисою. Функціюбудемо вважати відомою і неперервною. Перетнемо тіло площинами, перпендикулярними до осі, на відрізкуйого довжини. В результаті наше тіло розіб‘ється нашарів, кожний з яких наближено можна вважати за циліндр. Зважаючи на те, що об‘ємі-го шару наближено дорівнює , де- деяка точка відрізка, то для об‘ємуусього тіла одержимо вираз

(2.10)

При танаближена рівність (2.10) все точніше буде характеризувати об‘єм тіла і у границі одержимо

.

Оскільки (2.10) являє собою інтегральну суму для неперервної функції , то її границя є відповідний визначений інтеграл. Отже,

(2.11)

Приклад. Знайти об‘єм піраміди, площа основи якої дорівнює, а висота.

За вісь приймемо пряму, що виходить із вершини піраміди, перпендикулярно її основі (рис. 6).

Позначимо через площу якогось паралельного основі перерізу на відстанівід вершини. Відомо, що площі паралельних перерізів піраміди відносяться як квадрати їх відстаней від вершини. Отже,. Звідсиі на основі (2.11)

.

Отриманий результат повністю узгоджується із відомою формулою геометрії.

Об‘єм тіла обертання. Нехай криволінійна трапеція обертається

навколо осі (рис. 7). Оскільки площа змінного поперечного перерізуу точціє круг радіуса, то. Звідси на основі (2.11) одержимо

(2.12)

Якщо ж криволінійна трапеція обмежена графіком неперервної функції і прямими;;, тоді об‘єм тіла, утвореного обертанням цієї трапеції навколо осівизначається за формулою

(2.13)

Приклад. Визначити об‘єм тіла, утвореного обертанням навколо осі кола.

Очевидно, що обертання кола навколо осей абоутворює кулю, об‘єм якої. Перевіримо це!

Згідно з формулою (2.12) будемо мати

.

Аналогічно, при обертанні кола навколо осі одержимо, що.

Обчислення довжини дуги

Означення. Під довжиною дуги розуміють границю, до якої прямує довжина ламаної лінії, вписаної в цю дугу; коли число ланок зростає, а довжина найбільшої ланки прямує до нуля.

Нехай на відрізку задана функціянеперервна разом із своєю першою похідною.

Довжина дуги графіка цієї функції на відрізкуобчислюється за формулою

(2.14)

де .

Приклад. Обчислити довжину кола .

Для застосування формули (2.14) потрібно знайти похідну функції , заданої неявно. Похідна функціїзнаходиться за формулою

отже , або.

Тоді

- довжина півкола. Звідси довжина усього кола .