- •М.Д. Бабич, с.І. Куприков
- •1. Невизначений інтеграл
- •1.1. Первісна функція. Невизначений інтеграл.
- •1.2. Основні властивості невизначеного інтеграла
- •1.3. Таблиця основних невизначених інтегралів
- •Покажемо на прикладах, що наведені табличні інтеграли будуть вірні, коли - незалежній змінній і коли- диференційовній функції відx.
- •1.4. Основні методи інтегрування
- •1.5. Інтегрування раціональних дробів
- •1.6. Інтегрування простих ірраціональностей
- •1.7. Інтегрування тригонометричних функцій
- •1.8. Інтегрування деяких трансцендентних функцій
- •2. Визначений інтеграл
- •2.1. Визначений інтеграл як границя інтегральної суми
- •2.2. Обчислення визначеного інтеграла. Формула Ньютона-Лейбніца.
- •2.3. Основні властивості визначеного інтеграла.
- •2.4. Методи обчислення визначених інтегралів
- •2.5. Застосування визначеного інтеграла
- •3. Функції двох змінних
- •3.1. Поняття функції двох змінних та їх геометричне зображення
- •3.2. Локальні екстремуми функції двох змінних
- •Дослідимо цю функцію всередині трикутника
- •4. Диференціальні рівняння
- •4.1. Основні поняття. Задача Коші.
- •4.2. Диференціальні рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними
- •4.3. Лінійні диференціальні рівняння. Однорідні диференціальні рівняння
- •4.4. Диференціальні рівняння другого порядку
- •Диференціальні рівняння другого порядку, що допускають пониження порядку
- •4.5. Лінійні диференціальні рівняння другого порядку.
- •4.6. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
- •4.7. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку із сталими коефіцієнтами
- •5. Числові та функціональні ряди
- •5.1. Числові ряди. Ознаки збіжності
- •5.2. Знакозмінні ряди
- •5.3. Функціональні ряди
- •5.4. Степеневі ряди. Радіус збіжності
- •5.5. Ряди Тейлора і Маклорена
- •Контрольна робота № 2
- •Рекомендована література
5.4. Степеневі ряди. Радіус збіжності
Серед функціональних рядів степеневі ряди використовуються найбільш широко.
Означення. Степеневим рядом називається функціональний ряд виду
(5.5) |
або, в загальному випадку
Числа називають коефіцієнтами степеневого ряду.
Теорема 1 (перша теорема Абеля). Якщо степеневий ряд збігається для значення, відмінного від нуля, то він абсолютно збігається для будь-якого значення, що задовільняє нерівності.
Якщо ж ряд розбігається при деякому значенні , то він розбігається при будь-якому, такому, що.
Теорема 2 (друга теорема Абеля – про будову області збіжності степеневого ряду). Для кожного степеневого ряду існує таке додатнє число(це може бути і), що
ряд збігається абсолютно для ,.
ряд розбігається для ,
Число називається радіусом збіжності степеневого ряду.
Означення. Інтервалом збіжності степеневого ряду називається такий інтервал , що для будь-якого, що належить цьому інтервалові, ряд збігається, і притому абсолютно, а для всіх, що лежать зовні інтервала, ряд розбігається; значення,вимагають додаткової перевірки.
Теорема (про рівномірну збіжність степеневого ряду). Яке б додатнє число не взяти, степеневий ряд буде збігатися рівномірно відноснона відрізку.
Отже, в середині інтервалу збіжності степеневий ряд володіє всіма властивостями рівномірно збіжного функціонального ряду: його сума є неперервною функцією аргумента , його можна почленно інтегрувати та диференціювати.
Знаходження радіуса збіжності степеневого ряду
Для знаходження радіуса збіжності степеневого ряду поряд із рядом розглянемо ряд, утворений із абсолютних величин його членів:.
Для дослідження збіжності цього ряду (з додатними членами) скористуємось ознакою Даламбера
, .
Для збіжності ряду цей вираз повинен бути менше 1: , звідки; отже, інтервалі є інтервал збіжності степеневого ряду, тобто.
Якщо провести аналогічні міркування, користуючись ознакою Коші, то ми отримаємо: .
Приклад 1. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду
(5.6) |
Розв‘язання. Для знаходження інтервалу збіжності скористуємось ознакою Даламбера: ,;.
Отже, ряд збігається для значень , що задовольняють нерівності.
Дослідимо збіжність ряду на кінцях інтервалу. Для цього підставляємо значення ;в вираз (5.6).
При отримуємо ряд, який розбігається, як узагальнений гармонійний при.
При отримуємо ряд Лейбніца
,
який збігається умовно (за теоремою Лейбніца). Отже, інтервалом збіжності ряду (5.6) є .
Приклад 2. Знайти інтервал збіжності степеневого ряду .
Розв‘язання. Для знаходження інтервалу збіжності скористаємось ознакою Коші:
; ; таким чином, ряд збігається приі розбігається при.
Дослідимо збіжність на кінцях інтервалу:
при отримуємо гармонійний ряд, який є розбіжним;
при отримуємо знакочергуючий ряд, який за теоремою Лейбніца збігається умовно. Отже, інтервалом збіжності є.
5.5. Ряди Тейлора і Маклорена
Нехай функція на відрізкуабонескінчено диференційовна. Тоді для всіх значеньз цього проміжку має місце формула
(5.7) |
Такий ряд (незалежно від того, чи є він збіжним і чи має своєю сумою функцію ) називається рядом Тейлора для функції.
Поклавши в цій формулі , отримаємо ряд Маклорена:
(5.8) |
Як і для числових рядів, суму ряду Тейлора можна представити у вигляді часткової суми ряду і-го залишку ряду:.
Має місце наступна теорема:
Теорема (необхідні і достатні умови розвинення функції в ряд Тейлора). Для того, щоб ряд Тейлора збігався до функції , необхідно і достатньо, щоб призалишок ряду прямував до нуля:
для всіх значень із інтервалу збіжності ряду.
Розвинення в ряд Маклорена деяких функцій
;
Запишемо ряд Маклорена:
Знайдемо коефіцієнти ряду для функції
.
. . . . . . . . . . . .
. . . . . .
Звідси маємо:
(Інтервал збіжності ряду ).
Замінивши в цій формулі на, отримуємо новий розклад:
:
;
Легко переконатись, що -на похідна може бути обчислена за формулою
.
Звідки маємо: ,.
Підставляючи ці значення в ряд Маклорена, отримуємо:
.
.
Міркуючи цілком аналогічно і зважуючи, що , отримаємо
; ,
Звідки
.
: Функція визначена і диференційовна при .
;
; ;;
; ... ; ;