3.2. Локальні екстремуми функції двох змінних

Нехай функція визначена в областіD, а точка . Якщо існує окіл точкиМ₀ , який належить області D і для всіх відмінних від М₀ точок М цього околу виконується нерівність , то точкуМ₀ відповідно називають точкою локального максимуму (мінімуму) функції , а число- локальним максимумом (мінімумом) цієї функції. Точки максимуму та мінімуму функції називають її точками екстремуму.

Необхідні умови екстремуму. Функція може мати локальний екстремум тільки в тих точках, в яких частинні похідні першого порядку по зміннихх та у дорівнюють нулю або не існують, тобто

, або не існують.

Достатні умови екстремуму. Позначимо через А, В, С значення частинних похідних 2-го порядку у критичній точці, тобто

; ;

Тоді, якщо:

1) , то

2) , то екстремуму не має;

3) , то екстремум може бути, а може і не бути.

Приклад. Знайти екстремум функції .

Шукаємо частинні похідні підозрілі на екстремум.

або

Отже в точці (-4;1) може бути екстремум. Дослідимо його.

Знайдемо частинні похідні 2-го порядку.

; ;

Отже . Це означає, що у точці (-4;1) функціяz має min і z_min=-1;

Умовний екстремум функції. Щоб знайти екстремум функції за умови, щох і у зв’язані рівнянням , потрібно скласти допоміжну функцію

,

яка називається функцією Лагранжа, а число множником Лагранжа.

Координати екстремальної точки (х,у) повинні задовольняти трьом рівнянням

, ,

Із цих рівнянь знаходяться ,х та у.

Приклад. Знайти екстремум функції.

при

Складаємо функцію Лагранжа

; ;.

Розв’язавши цю систему рівнянь одержимо: .

Дослідимо точку (1;1); ;;.

Отже ;. Значить в точці (1;1) функціяu має мінімум і .

Найбільше та найменше значення функції. Відомо, що функція задана і неперервна в замкненій обмеженій областіD , досягає в цій області свого найбільшого і найменшого значень. У внутрішніх точках області диференційовна функція може набувати цих значень лише у точках екстремуму, які знаходяться за правилами, наведеними вище.

Щоб вияснити поведінку функції на межі області D , потрібно використати рівняння межі (границю) області D і звести цю задачу до знаходження абсолютного екстремуму функції однієї змінної. Порівнюючи знайдені значення функції всередині і на межі області вибирають таким чином найбільше і найменше значення.

Найбільше або найменше значення функції в заданій області називається абсолютним екстремумом функції (відповідно абсолютним максимумом або абсолютним мінімумом функції) в цій області.

Абсолютний екстремум функції в заданій області досягається або у критичній точці функції, що належить цій області, або в точці на межі області.

Приклад. Знайти абсолютний екстремум функції у трикутній областіS із вершинами О (0;0) , А (1;0), В (0;2) (рис.8)

Дослідимо цю функцію всередині трикутника

; ; Отжех=0; у=0

Рис. 8

О (0;0) – критична точка, в якій z (0;0)=0 Розглянемо поведінку цієї функції на межі (границі) ОАВ області S . На відрізку ОА маємо у=0, , тому z=0. На відрізку ОВ маємох=0, , томуz=0. Відрізок АВ має рівняння , або. Звідсиу підставимо у функцію . Тоді одержимоОтже.Оскільки, то в точціфункціяZ досягає свого найбільшого значення

Таким чином - досягається на ОА і ОВ.

- досягається в точці відрізка АВ межі ОАВ.